第08讲 正多边形与圆-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

第08讲 正多边形与圆 【学习目标】 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正 多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 【基础知识】 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【考点剖析】 一．正多边形和圆（共12小题） 1．（2022春•海珠区校级月考）中心角为45°的正n边形的边数n等于（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】根据正多边形的中心角，计算即可． 【解答】解：由题意得，45°， 解得n＝8， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形与圆，解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算． 2．（2021秋•滨江区期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据正多边形的中心角计算即可． 【解答】解：设正多边形的边数为n． 由题意可得：72°， ∴n＝5， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角． 3．（2021秋•南开区期末）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，⊙O的半径是R，它的外切正六边形的边长为（　　） A． B．R C．2R D．6R 【分析】求出∠AOD＝30°，然后解直角三角形求出AD，再根据边长AB＝2AD计算即可得解． 【解答】解：如图，∠AOD＝360°÷12＝30°， 所以，AD＝OD•tan30°R， 所以，外切六边形的边长AB＝2ADR． 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形和圆，主要利用了解直角三角形，熟记正多边形的性质并求出切点与相邻的顶点所对的圆心角的度数是解题的关键． 4．（2021秋•咸宁月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O． （1）求证：AO＝CD； （2）判断四边形AODE的形状，并说明理由． 【分析】（1））根据正五边形的性质可知AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，所以∠ABO＝72°，∠BAO（180°﹣108°）＝36°，因此∠AOB＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，推出AB＝AO，则CD＝AO； （2）根据圆周角定理求出∠BDE、∠E的度数，进而证明DF∥AE；证明AF∥DE，AE＝DE，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD， ∴∠ABO＝72°，∠BAO（180°﹣108°）＝36°， ∴∠AOB＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO， ∴AB＝AO， ∴CD＝AO； （2）四边形AODE是菱形；理由如下： ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠BDE72°，∠E360°＝108°， ∴∠BDE+∠E＝180°，DO∥AE； 同理可证：AO∥DE，而AE＝DE， ∴四边形AODE是菱形． 【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是：深入分析、大胆猜测、合情推理、科学论证． 5．（2020秋•河东区校级月考）如果圆的内接正六边形的边长为6cm，求其外接圆的半径． 【分析】根据题意画出图形，求出中心角的度数，再根据等边三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，CD＝6cm， ∴∠COD60°， ∵OC＝OD， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC＝CD＝6cm， ∴其外接圆的半径为6cm． 【点评】本题考查的是正多边形的性质，根据题意画出图形求出中心角是解答此题的关键． 6．（2022春•浦东新区校级期中）已知一个正多边形的中心角为45°，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据中心角的度数可求出圆内接正多边形的边数，再根据等腰三角形的定义和正八边形的性质进行判断即可． 【解答】解：由于一个正多边形的中心角为45°， 所以这个正多边形的边数为8， 如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有△ABC，△A