专题12 概率的综合应用（知识梳理+专题过关）-2021-2022学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题12 概率的综合应用 【知识梳理】 知识点1．随机试验的三个特点 (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 知识点2．关于样本点和样本空间 (1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间； (2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间． 知识点3．事件与基本事件 (1)随机事件是样本空间的子集. 随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件． (2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形． 知识点4．频数、频率和概率 (1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率． 概率与频率的区别 ①概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关，它度量该事件发生的可能性． ②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同． ③频率是概率的近似值，在实际问题中，仅当试验次数足够多时，频率可近似地看作概率． 知识点5．概率的几个基本性质 当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率为. (3)不可能事件的概率为. 知识点6．古典概型 (1)特点： ①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件． ②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的． (2)计算公式： P(A)＝. 知识点7．事件的关系与运算 名称 条件 结论 符号表示 包含关系 若A发生，则B一定发生 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B 事件A与事件B相等 A＝B 并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，P(A∪B)＝1 知识点8.互斥事件的概率 (1)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (2)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝，P(A)＝1－P(B)． 知识点9．事件的相互独立性 (1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． (3)公式的推广 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． (4)两个事件独立与互斥的区别 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响． 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提． 知识点10．相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P() P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B) 【注意】①(A)＋(B)，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生． ②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B. 【专题过关目录】 过关1：随机事件和样本空间 过关2：随机事件的概率 过关3：互斥事件 过关4：独立事件 过关5：概率问题的综合运用 【典型例题】 过关1：随机事件和样本空间 1．（2022·全国·高一课时练习）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三