专题4.8 全等三角形中的经典模型-重难点题型-2021-2022学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版）【学科网名师堂】

专题4.8 全等三角形中的经典模型-重难点题型 【北师大版】 【题型1 平移模型】 【例1】（2020秋•襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB＝DE；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF． （1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是　 　； （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明． 【解题思路】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A＝∠D，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF； （2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可． 【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙， 故答案为：甲、丙； （2）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEC， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【变式1-1】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）求证：点O为BF的中点． 【变式1-2】（2020秋•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 【变式1-3】（2021春•雁塔区校级期中）如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF． （1）证明：EF平分线段BC； （2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【题型2 轴对称模型】 【例2】（2020秋•杭州校级月考）如图，在△ABC和△BAD中，AC与BD相交于点E，已知AD＝BC，另外只能从下面给出的三个条件①∠DAB＝∠CBA，②∠D＝∠C③∠DBA＝∠CAB 选择其中的一个用来证明在△ABC和△BAD全等，这个条件是　 　．（填写编号），并证明△ABC≌△BAD． 【解题思路】选择条件①，根据全等三角形的判定定理SAS进行证明即可． 【解答过程】解：这个条件是：①，证明如下： 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABC≌△BAD（SAS）． 【变式2-1】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC． 【变式2-2】（2020秋•海珠区校级期中）如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP． 【变式2-3】如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N． 求证：AM＝AN． 【题型3 旋转模型】 【例3】（2020秋•渝水区校级期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：∠ABD＝∠ACE． 【解题思路】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，利用SAS证明△ABD与△ACE全等，进而解答即可． 【解答过程】证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE． 【变式3-1】（2020秋•怀宁县期末）如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想． 【变式3-2】（2020秋•合江县月考）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE． （1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE； （2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE． 【变式3-3】（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； （2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【题型4 一线三等角模型】 【例4】（2020秋•覃塘区期中）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作△ABC，使AB＝AC，连接BD，CE． （1）如图①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE； （2）如图②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【解题思路】（1）