第06讲 圆周角-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

第06讲 圆周角 【学习目标】 1.理解并掌握圆周角相关概念 2.探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 【基础知识】 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 1、 顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦. 2、 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3、 圆心角定理： 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。 3、 圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦. 4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律: 5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 【微点拨】 (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3） 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 【考点剖析】 一．圆周角定理（共4小题） 1．（2021秋•惠州期末）如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（　　） A．80° B．260° C．100° D．130° 【分析】设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠E的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB的度数． 【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB， ∵∠AOB＝100°， ∴∠E∠AOB＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣∠E＝130°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 2．（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，AB边是圆O的直径，BC与圆O交于点D，且D是BC的中点，∠BAC＝120°，点E在圆O上，则∠BED的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【分析】根据AB边是圆O的直径，推出∠ADB＝90°，再推出△ABC是等腰三角形，所以∠CAD＝∠BAD∠BAC＝60°，根据圆周角定理推出∠BED＝∠BAD＝60°． 【解答】解：∵AB边是圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵D是BC的中点， ∴AC＝AB， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝60°， ∴∠BED＝∠BAD＝60°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．（2021秋•天津期末）如图，已知点A，B．C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（　　） A．80° B．76° C．62° D．52° 【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数． 【解答】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC＝38°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝76°． 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 4．（2022春•庐阳区校级期中）直线MN交⊙O于点A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，DE⊥MN于E．若，AE＝1．求： （1）⊙O的半径； （2）圆心O点到AB距离． 【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，根据勾股定理得出AD＝2，根据题意得到△ACD∽△ADE，相似三角形的性质即可求解； （2）连接OD，过点O作OT⊥MN于点T，根据两平行线间的距离相等求解即可． 【解答】解：（1）∵DE⊥MN， ∴∠AED＝90°， ∵DE，AE＝1， ∴AD2， 连接CD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠AED＝90°， ∵AD平分∠CAM交⊙O于D， ∴∠CAD＝∠DAE， ∴△ACD∽△ADE， ∴， ∴， 则AC＝4， ∴⊙O的半径是2； （2）连接OD，过点O作OT⊥MN于点T， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵∠OAD＝∠DAE， ∴∠ODA＝∠DAE， ∴OD∥MN， ∵DE⊥MN，OT⊥MN， ∴OT＝DE， ∴圆心O点到AB距离． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 二．圆内接四边形的性质（共7小题） 5．（2021秋