第11讲 二次函数的图像与性质进阶（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第11讲 二次函数的图像与性质进阶（核心考点讲与练） 【基础知识】 1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 2．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 3．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 4．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【考点剖析】 一．二次函数图象与系数的关系（共8小题） 1．（2021秋•崇明区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（　　） A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＞0 C．b＝2a D．9a+3b+c＝0 2．（2021秋•黄浦区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么点P（b，）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2022•青浦区二模）抛物线y＝（a﹣1）x2﹣2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 　 　． 4．（2021秋•青浦区期末）如果抛物线y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a　 　0．（填“＜”或“＞”） 5．（2021秋•崇明区期末）如果抛物线y＝（k﹣2）x2的开口向上，那么k的取值范围是 　 　． 6．（2021秋•虹口区期末）如果抛物线y＝（2﹣a）x2+2开口向下，那么a的取值范围是 　 　． 7．（2021秋•奉贤区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象一部分如图所示，对于下列说法正确的是（　　） A．abc＞0 B．a﹣b+c＜0 C．b+c＜0 D．当﹣1＜x＜3时，y＞0 8．（2020秋•浦东新区期末）已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围． 二．二次函数图象上点的坐标特征（共8小题） 9．（2021秋•浦东新区校级期末）已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数yx2+4的图象上，那么m、n的大小关系是：m　 　n．（填“＞”、“＝”或“＜”） 10．（2021秋•嘉定区期末）抛物线y＝ax2+2经过点（﹣2，6），那么a＝　 　． 11．（2021秋•徐汇区期末）如图，已知点A是抛物线y＝x2图象上一点，将点A向下平移2个单位到点B，再把点A绕点B顺时针旋转120°得到点