专题10 立体几何中的平行垂直、角度、距离、体积问题（知识梳理+专题过关）-2021-2022学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题10 立体几何中的平行垂直、角度、距离、体积问题 【知识梳理】 知识点1.证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面. （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 知识点2.证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）. 知识点3.求点线、点面、线面距离的方法 (1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)． (2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． (3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点4.异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： (1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线. (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角. (3)结论——设(2)所求角大小为θ.若，则θ即为所求；若，则即为所求. 知识点5.直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 (1)确定斜线与平面的交点(斜足)； (2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； (3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形. 知识点6.作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角.如图③，为二面角的平面角. 知识点7.求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解. 【专题过关目录】 过关1：平行与垂直问题 过关2：异面直线所成的角 过关3：线面角 过关4：二面角 过关5：距离问题 过关6：体积问题 【典型例题】 过关1：平行与垂直问题 1．（2022·江苏·高一课时练习）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若m∥n，n⊂α，则m∥α 【答案】C 【解析】 【分析】 由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一分析四个选项即得． 【详解】 对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误； 对于B，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n与α相交，相交也不一定垂直，故B错误； 对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确； 对于D，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故D错误． 故选：C． 2．（2022·全国·高一专题练习）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用线面平行的判定定理逐项判断可得出合适的选项. 【详解】 对于A选项，连接，如下图所示： 因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，， 、分别为、