第10讲 二次函数的概念、图像与性质（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第10讲 二次函数的概念、图像与性质（核心考点讲与练） 【基础知识】 1.二次函数的概念 解析式形如的函数；它的定义域为一切实数； 2.二次函数的图像与性质 对称轴 顶点 开口方向 变化情况 直线 时，开口向上，顶点是最低点； 时，开口向下，顶点是最高点； 当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降. 直线 直线 直线 直线 3.二次函数的平移 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变． 简单表述：上加下减、左加右减 【考点剖析】 一、二次函数的概念 一、单选题 1．（2020·上海市徐汇中学九年级期中）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝（2x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣x2 C．y＝ax2 D．y＝2x+3 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【详解】解：A、y=（2x﹣1）2=4x2﹣4x﹣1是二次函数，故本选项符合题意； B、y=（x+1）2﹣x2=x2+2x+1﹣x2=2x+1，是一次函数，故本选项不合题意； C、y=ax2当a等于0时，它不是二次函数，故本选项不合题意； D、y=2x+3是一次函数，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2．（2021·上海市新泾中学九年级期中）下列函数是二次函数的是（       ） A．y＝3x﹣1 B．y＝（x﹣3）2﹣x2 C．y＝ D．y＝2x2﹣2x＋1 【答案】D 【分析】由二次函数的定义：形如，则是的二次函数，从而可得答案． 【详解】解：A．自变量x的次数不是2，故A不是二次函数，不符合题意； B．整理后得到，是一次函数，故B不是二次函数，不符合题意； C．由可知，自变量x的次数不是2，故C不是二次函数，不符合题意； D．是二次函数的一般式，故D是二次函数，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 二、填空题 3．（2021·上海市罗星中学九年级期中）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为____． 【答案】 【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：x＋2， 则面积为：（x＋2）2平方厘米， ∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x． 故答案为：y＝x2＋4x． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 4．（2022·上海宝山·九年级期末）已知二次函数，当时，函数的值是_________． 【答案】-1 【分析】将x的值代入计算即可； 【详解】解：当时 ==-1 故答案为：-1 【点睛】本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键． 5．（2022·上海虹口·九年级期末）已知二次函数的图像经过原点，则的值是_______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象经过原点、并结合二次项系数不为零进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过原点 ∴ ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了根据二次函数的定义求参数、解一元一次不等式、解一元二次方程等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．（2022·上海·格致中学二模）已知，则___________ 【答案】2． 【分析】求的值，即是求当时，的值，从而进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了函数在某一点的函数值，解题的关键是把该点的值代入函数解析数进行运算求解． 7．（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________． 【答案】 【分析】根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解． 【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为， ∴二月份