第07讲 相似三角形中“一线三等角”问题（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第07讲 相似三角形中“一线三等角”问题（核心考点讲与练） 【基础知识】 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 一般类型： 基本类型： 同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角” 【考点剖析】 1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是 　 ． 2．（2020秋•冠县期末）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长． 【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE； （2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果． 3.（2018浦东新区二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，联结DE，点F在DE上CF＝CD，过点F作FG⊥FC交AD于点G． （1）求证：GF＝GD； （2）联结AF，求证：AF⊥DE． 整体分析： 根据等角的余角相等得到即可证明. 联结CG.证明△DAE≌△CDG,得到.进而得到，根据等边对等角得到根据三角形的内角和可以求出∠AFD= 90°，即可证明. 4.已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x． （1）当AP = AD时，求线段PC的长； （2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长． ( A B C D P ) ( A B C D （ 备用图 ） ) 【过关检测】 1．（2019·上海市育才初级中学九年级阶段练习）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G、交CD于点M． （1）如图1，联结BD，求证：，并写出的值； （2）联结EG，如图2，若设，求y关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当M为边DC的三等分点时，求的面积． 2．（2020·上海宝山·九年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E． （1）求证：AB·AF＝CB·CD； （2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm（），四边形BCDP的面积为y cm2． ①求y关于x的函数关系式； ②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值． 3．（2021·上海·九年级专题练习）（1）正方形中，对角线与相交于点，如图1，请直接猜想并写出与之间的数量关系：________； （2）如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转得到，连接，，请猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，矩形和有公共顶点，且，，则________． 4.如图，在中，，，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F． （1）求AC和BC的长；（2分） （2）当∥时，求的长；（5分） （3）联结，当和相似时，求的长．（7分） 5.在梯形ABCD中,AD∥BC，.（如图1） (1)试求的度数； (2)若E、F分别为边AD、CD上的两个动点(不与端点A、D、C重合),且始终保持,与交于点.（如图2） ①求证:∽； ②试判断的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明； ③设,试求关于的函数解析式,并写出定义域. ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $第07讲 相似三角形中“一线三等角”问题（核心考点讲与练） 【基础知识】 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的