第13讲 轴对称中“将军饮马”模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（浙教版）

第13讲 轴对称中“将军饮马”模型（核心考点讲与练） 【基础知识】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 类型一：两定一动之点点 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 类型二：两定两动之点点 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 类型三：一定两动之点线 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【考点剖析】 1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ） A． B． C． D． 2、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______． 3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为　　 A．3 B．4 C． D． 4、如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是　　 A． B．2 C． D．4 【过关检测】 一．选择题（共3小题） 1．（2018秋•滨江区期末）直角坐标系中，点A坐标为（0，﹣1），动点B的坐标为（m，1﹣m），AB+OB的最小值是（　　） A． B． C． D．1 2．（2017秋•宁海县期末）P是x轴上的任意一点，则点P到点A（﹣1，1）和点B（2，3）的距离之和的最小值为（　　） A． B． C．5 D．无法确定 3．（2021•周村区二模）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为（　　） A． B． C． D．4 二．填空题（共3小题） 4．（2021秋•鄞州区期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC，AC＝3，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一点，则DE+BE的最小值为 　 　． 5．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连结PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP+DP的最小值为 　 　． 6．（2021秋•诸暨市期末）如图，等腰△BAC中，∠BAC＝120°，BC＝6，P为射线BA上的动点，M为BC上一动点，则PM+CP的最小值为 　 　． 三．解答题（共2小题） 7．（2021秋•北仑区期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． （1）△ABC的面积为 　 　； （2）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B′C； （3）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短，请在图中作出P点的位置，这个最短的长度为 　 　． 8．（2021秋•诸暨市期中）如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P． （1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号） （2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹） ( 9