第09讲 全等三角形中“一线三等角”模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（浙教版）

第09讲 全等三角形中“一线三等角”模型（核心考点讲与练） 【基础知识】 过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。 过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS） 常见的两种图形： 【考点剖析】 1、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由. 解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE ∴∠BDA=∠AEC=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC 在△ABD和△CAE中 ∠ADB=∠CEA=90° ∠ABD=∠EAC AB=CA ∴△ABD≌△CAE(AAS) AD=CE,BD=AE ∵AE=AD+DE ∴BD=DE+CE （2）在△ABD和△CAE中 ∠ADB=∠CEA=90° AB=CA ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴AD=CE,BD=AE∵AE=DE-AD ∴BD=DE-CE. 2、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. 当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论. 解析： ∵∠B=40°∴∠BAD+∠BDA=140° ∵∠ADE=40° ∴∠CDE+∠BDA=140° ∴∠BAD=∠CDE 在△ABD和△DCE中 ∠B=∠C ∠BAD=∠CDE AB=DC ∴△ABD≌△DCE 3、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC 证明：AB+AE=BC 【解析】（1）作AC的垂线交AD的延长线于点M 证△BAE≌△ACM（ASA）得CM=AE=CD ∴∠M=∠CDM=∠AEB=∠BAD∴AB=BD ∴BF平分∠ABD（等腰三角形三线合一）（2）AB+AE=BD+DC=BC 4、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=BD.解析： 延长CE、BA相交于点F. ∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90° ∴∠EBF=∠ACF. 又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF ∴△ABD≌△ACF（ASA） ∴BD=CF 在△BCE和△BFE中 ∠EBF=∠CBE BE=BE ∠CEB=∠FEB ∴△BCE≌△BFE(ASA) ∴CE=EF ∴CE=CF=BD 【过关检测】 一．选择题（共2小题） 1．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，由AB＝AC，∠B＝∠C，便可证得△BAD≌△CAE，其全等的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】由全等三角形的判定定理ASA可得△BAD≌△CAE． 【解答】解：在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（ASA）， 故选：C． 【点评】本题重点考查了全等三角形的判定定理，本题比较简单，要根据条件的位置选择判定方法． 2．（2021秋•龙湾区期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．保持不变 【分析】过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，利用SAS证明△OBP≌△HCB，得OB＝CH＝4，OP＝HB，即可解决问题． 【解答】解：过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G， ∵△CBP是等腰直角三角形， ∴BC＝BP，∠CBP＝90°， ∴∠HBC+∠OBP＝90°， ∵∠CBH+∠HCB＝90°， ∴∠OBP＝∠HCB， 在△OBP和△HCB中， ， ∴△OBP≌△HCB（AAS）， ∴OB＝CH＝4，OP＝HB， ∵∠ODC＝45°，CG⊥OD， ∴△OCD是等腰直角三角形， ∴CG＝DG， ∴PD＝GD﹣PG＝CG﹣（OP﹣4）＝4+OP﹣（OP﹣4）＝8， ∴PD的长度保持不变， 故选：D． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（共3小题） 3．（2011春•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD，BE⊥CD，AD＝3，DE＝4，则BE＝　7　． 【分析】根据垂直的定义与直角三角形的两个锐角互余的性质