专题08 玩转外接球与内切球（知识梳理+专题过关）-2021-2022学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题08 玩转外接球与内切球 【知识梳理】 知识点一：正方体、长方体外接球 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为. 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题. 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以. 知识点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 知识点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： . 由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径： 知识点七：垂面模型外接球 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 【专题过关目录】 过关1：正方体、长方体外接球 过关2：正四面体外接球 过关3：对棱相等的三棱锥外接球 过关4：直棱柱外接球 过关5：直棱锥外接球 过关6：正棱锥外接球以及侧棱相等锥体的外接球 过关7：垂面模型 过关8：锥体内切球 【典型例题】 过关1：正方体、长方体外接球 1．体积为的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设正方体的棱长为，求出的值，可求得正方体外接球的半径，再利用球体体积公式可求得结果. 【详解】 设正方体的棱长为，则该正方体的体积为， 该正方体外接球的直径为，所以，， 所以，该球的体积为. 故选：C. 2．一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为 （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用长方体的外接圆直径为体对角线，即可求解． 【详解】 长方体的外接球直径即为长方体的体对角线， 由题意，体对角线长为：， 外接球的半径R＝， ＝17π， 故选：B． 3．设球的内接长方体的长、宽、高分别为，则球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】 由题意，球的内接长方体的长、宽、高分别为， 则长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得， 所以，所以球的表面积为. 故选：B. 4．在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为____ 【答案】 【解析】 【分析】 先由三棱锥的表面积求出正方体的棱长，再求出，即外接球直径，再计算体积即可. 【详解】 设正方体的棱长为，易得，故三棱锥的四个面均为等边三角形， 故，解得，又正方体的外接球直径为体对角线， 故外接球的体积为. 故答案为：. 5．如图所示的多面体是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分，这个多面体的各棱长均为2，则该多面体外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 把该多面体补形为正方