专题09 立体几何中的范围与最值问题（知识梳理+专题过关）-2021-2022学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题09 立体几何中的范围与最值问题 【知识梳理】 动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题。根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转。根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围。动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力。 【专题过关目录】 过关1：线段与长度之和问题 过关2：截面问题 过关3：轨迹问题 过关4：周长、面积与体积问题 过关5：角度问题 【典型例题】 过关1：线段与长度之和问题 1．如图所示，正方体的棱长为，是线段上的动点，则下列结论中错误的是（       ） A．平面 B．的最小值为 C．平面平面 D．异面直线与所成角的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正方体的性质由线面垂直的判定定理可判断A；由的形状可判断B；由正方体的性质和面面平行的判定定理可判断C；由可判断D. 【详解】 A选项，∵，，，平面，平面，∴平面，A正确； B选项，∵是边长为的正三角形， 当是线段上的中点时，取得最小值，B正确； C选项，∵，平面，平面，所以平面 同理平面，又，平面，平面 ∴平面平面，C正确； D选项，∵，∴异面直线与所成角即为与所成角， 观察正可知，当是线段上的中点时，， 则异面直线与所成角的最大值为，D错误. 故选：D 2．张衡（78年—139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》．他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最大值为，利用张衡的结论可得该正方体内切球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】 设正方体的棱长为，分别求出正方体内切球半径和外接球半径，再根据线段的最大值为，求出正方体的棱长，即可求出正方体内切球的表面积，最后根据圆周率的平方除以十六等于八分之五，得到圆周率，从而求出内切球的表面积. 【详解】 设正方体的棱长为，则正方体内切球半径， 正方体外接球半径满足，解得， ∵线段的最大值为，解得， ∴内切球半径为， ∴该正方体内切球的表面积， 又∵圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，∴， ∴正方体内切球的表面积为． 故答案为：. 3．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱维的体积为，则线段长度的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 计算出棱锥的高和球的半径，再考虑所在的截面圆的半径后可求线段长度的最大值. 【详解】 因为球的体积为，故球的半径满足， 故， 而，，，故，故， 故， 设到平面的距离为，则，故， 故在球面的截面圆上，设截面圆所在的平面为， 当与平面在球心的异侧时，有最大值， 设球心到平面的距离为，而外接圆的半径为，则， 故球心到平面的距离为，故截面圆的半径， 设在平面上的投影为，则的轨迹为圆，圆心为的外心即的中点， 当最长时最长，此时， 故长度的最大值为， 故答案为：. 【点睛】 思路点睛：本题涉及到空间中动点的轨迹，注意根据高为定值确定出动点所在的曲线，再将空间问题平面化，从而解决最值问题. 4．如图，在边长为2的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结, ，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上） ①四棱锥的体积的最大值为； ②当面平面时，二面角的正切值为； ③存在某一翻折位置，使得； ④棱的中点为，则的长为定值． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 当面平面时，四棱锥的高取得最大值,此时体积达到最大值，经计算可知①正确；作出二面角的平面角，经计算可知②正确；利用反证法可知③不正确；取的中点，连，，，可得，经计算可知④正确. 【详解】 在翻折到的过程中，因为四棱锥的底面积为定值，定值为，所以当四棱锥的高取得最大值时，其体积达到最大， 当面平面时，四棱锥的高取得最大值,其最大值为直角三角形的斜边上的高，其值为， 所以四棱锥的体积的最大值为，故①正确； 当面平面时，过作，垂足为，则平面，所以， 过作，垂足为，连，因为，所以平面，所以，所以为二面角的平面角， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 因为，所以， 在直角三角形中，， 所以， 所以，所以二面角的正切值为，故②正确； 连接，如图： 假设，因为，，所以平面， 所以， 所以，又，二者相矛盾，故假设不成立，故与不垂直，故③不正确； 取的中点，连，，，如图： 因为，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 在直角三角形中，，所以，即CN的长为定值，故④正确. 故答案为：①②④. 5．在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点，P是侧面四边形内(不含边界)一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是________. 【答案】 【解析