7.4.2二项式系数的性质及应用课件-2021-2022学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

二项式系数的性质及应用 1 1、二项式定理 一般地，对于n∈N*，有 这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项，其中 叫作二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即 (r＝0，1，2，···，n)叫作二项式系数。 复习回顾 2、二项式展开式特点 ①项数：共n＋1项； ②指数： a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a，b 的指数和为n； ③系数：第r＋1项的二项式系数为 。 复习回顾 1 问题情境 (a＋b)n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3，···时， 如下表所示： 提出问题：发现什么特点？ 数史简介 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表： 杨辉三角：表中除“1”以外的每一个数都等于肩上两数 之和。 数学探究 问题：二项式系数有什么特点？ (a＋b)n展开式的二项式系数为： 从函数的角度看， 可看成是以r为自变量的函数 f(r)，其定义域是{0，1，2，···，n}，即： 数学探究 问题：二项式系数有什么特点？ (1)对称性 每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项 的二项式系数相等，即第2项 与倒数第2项的二项式系数相 等， ···，与首末两端“等距离”的二项式系数相等，即： 图象的对称轴为 数学探究 问题：二项式系数有什么特点？ (2)可加性 图中每行两端都是1，而且 除1以外的的每一个数都等 于它“肩上” 两个数的和， 即： 数学探究 问题：二项式系数有什么特点？ (3)增减性与最大值 图中每行二项式系数从两端向中间逐渐增大，即： 当 时， ；当 时， 。 证明：当 时，要证明： ，只要证 即要证 ， 即要证 ， 而 是已知条件，故结论得证。 同理