7.4.1二项式定理(1)课件-2021-2022学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

二项式定理(1) ——二项式展开式的应用 1 问题情境 情境1：若今天是星期一，再过83天后的那一天是星期几？ 法一：83＝512，512÷ 7＝73···1，所以是星期二； 法二：83＝(7＋1)3＝ 73＋3×72×1＋3×7×12＋13， 所以是星期二。 依据：(a＋b)3＝ a3＋3a2b＋3ab2＋b3的展开式。 情境2：若今天是星期一，再过8100天后的那一天是星期几？ 法一：8100＝? 法二：8100＝(7＋1)100＝? 提出问题：能否利用的 (a＋b)n展开式？ 情境3：多项式(a＋b)(x＋y＋z )展开式共有多少项？怎么 展开？能否写出它的每一项？ 数学探究 我们都知道： 问题1： (a＋b)n如何展开？ (a＋b)3＝ a3＋3a2b＋3ab2＋b3 (a＋b)1＝ a＋b (a＋b)2＝ a2＋2ab＋b2 (a＋b)4＝ a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 那么，(a＋b)5＝ (a＋b)6＝ ······ (a＋b)n＝ 这里有什么规律吗？我们能探求这些规律吗？ 数学探究 对(a＋b)3展开式进行分析： 因为(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)，展开时，每个括号要么取a，要么取b，且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形式有： a3，a2b，ab2，b3 最后结果要合并同类项，所以项的系数就是该项在展开式中出现的次数，可计算如下： 因为恰有0个括号取b的情况有 种，所以a3 的系数为 ； 因为恰有1个括号取b的情况有 种，所以a2b 的系数为 ； 因为恰有2个括号取b的情况有 种，所以ab2的系数为 ； 因为恰有3个括号取b的情况有 种，所以b3的系数为 。 故(a＋b)3＝ 即(a＋b)3＝ 数学探究 对(a＋b)4展开式进行分析： 因为(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)，展开时，每个括号要么取a，要么取b，且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形式有： a4，a3b，a2b2， ab3， b4 最后结果要合并同类项，所以项的系数就是该项在展开式中出现的次数，可计算如下： 因为恰有0个括号取b的情况有 种，所以a4的系数为 ； 因为恰有1个括号取