6.3.1直线的方向向量与平面的法向量学案-2021-2022学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

氾水高级中学2021-2022学年度高二数学(下)导学活动单(8) 主备人：杨启进 课题 直线的方向向量与平面的法向量 学习目标 1、会求直线的方向向量与平面的法向量； 2、会利用直线的方向向量与平面的法向量解决一些空间问题。 教学过程 学法指导 活动一：问题情境 1、在平面中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系，那 么，在空间中，如何用向量刻画空间的两条直线、直线与平面、平面与平面 的位置关系呢？ 2、为了用向量研究空间的线面关系，我们要用向量来表示直线和平面的“方向”， 那么，如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？ 活动二：活动探究 类型一 利用空间向量判断两直线(平面)的位置关系 例1、设分别是直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1，l2的位 置关系。 (1)； (2)； (3) 。 变式拓展： 设分别是直线α，β的法向量，根据下列条件判断直线α，β的位置关系。 (1)； (2)； (3) 。 类型二 平面的法向量的证明与求解 例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的法向量。 变式拓展 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量。 练习： 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//CD，∠DAB＝90o，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝DC ＝1， AB＝2，求平面PBC法向量。 类型三 平面的点法式方程 例3、在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的一个法 向量为， M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y， z满足的关系式。 练习： 在空间直角坐标系中，设平面α经过原点O(0，0，0)，平面α的一个法向量为， P(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是______________ 活动三：知识梳理 1、直线的方向向量 我们把直线l上的向量以及与 的非零向量，叫作直线l的方向向量。 2、平面的法线 与平面垂直的直线叫作平面的法线。 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方向”。 3、平面的法向量 如果表示非零向量有向线段所在直线 于平面α，那么称向量垂直于平面α，记作