精品解析：吉林省长春市普通高中2022届高三质量监测（五）数学（理）试题

长春市普通高中2022届高三质量监测（五） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（ ） A. 60度 B. 75度 C. 270度 D. 285度 5. 当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（ ） A. B. C. -1 D. 1 6. 已知等差数列的前n项和为且，若，则n的值为（ ） A 8 B. 9 C. 16 D. 18 7. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分极差是11 B. 甲的单场平均得分比乙低 C. 甲有3场比赛的单场得分超过20 D. 乙得分的中位数是16.5 8. 对任意不相等的两个正实数，，满足的函数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知中，，，，点P为边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 10. 在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（ ） A. B. C. D. 11. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ） A. 当时与距离为 B. 点关于原点对称点为 C. 向量与平行的充要条件是 D. 点到直线的距离为 12. 已知函数，若函数与的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 展开式中的常数项是 . 14. 阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．若输出的S为，则判断框中实数x的取值范围是______． 15. 防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为12cm的碗（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计）完全罩住，则所选防蝇罩的半径至少为______cm．（结果取整数） 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为__________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必：题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 18. 某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目.比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者发下一个球.对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立. （1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率； （2）在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望. 19. 已知数列和满足，，，． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的前n项和． 20