数学思想汇总 题型盘点-【数理报】2021-2022学年高中数学必修4《巩固提高一本通》（北师大版）

书 一、函数与方程思想 函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究 具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知 识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数 量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从 变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路． 方程是建立等价的关系，由这个或这些等价关系 做出进一步推断．即先设定一些未知数，暂把它们当成 已知数，列出满足已知条件的等式 ——— 方程（组），这 样就沟通了变量之间的关系． 例１已知扇形周长为１０ｃｍ，面积为６ｃｍ２，求扇形 中心角的弧度数． 分析：由 α，ｒ，ｌ，Ｓ中的两个量，可以求其他的另两 个量，即“知二求二”． 解：设扇形中心角的弧度数为α（０＜α＜２π），弧 长为ｌ，半径为ｒ． 由题意 ｌ＋２ｒ＝１０， １ ２ｌｒ＝６ { ， 解得 ｒ＝２，ｌ＝６{ ，或 ｒ＝３，ｌ＝４{ ． 所以α＝３，或α＝ ４３． 点评：本题根据扇形周长和面积建立关于半径和 弧长的方程组，是方程思想在解题中的充分体现．应用 弧长公式ｌ＝αｒ和扇形面积公式Ｓ＝１２αｒ ２解决一些实 际问题，充分体现了弧度制在运算上的优越性． 例２已知α≠ｋπ＋π２，ｋ∈Ｚ，β≠ｎπ，ｎ∈Ｚ， ( 且 ３ｔａｎα＋ １ｔａｎ )β ３ ＋ｔａｎ３α＋４ｔａｎα＋ １ｔａｎβ ＝０，则４ｔａｎα ＋ １ｔａｎβ 的值为 ． 分析： (首先将已知的等式变形为 ３ｔａｎα＋ １ｔａｎ )β ３ (＋ ３ｔａｎα＋ １ｔａｎ )β ＝（－ｔａｎα）３＋（－ｔａｎα）．观察其 结构特点，考虑运用函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ的单调性加以解 决． 解： (已知式 ３ｔａｎα＋ １ｔａｎ )β ３ ＋ｔａｎ３α＋４ｔａｎα＋ １ ｔａｎβ ＝０ (可化为 ３ｔａｎα＋ １ｔａｎ )β ３ (＋ ３ｔａｎα＋ １ｔａｎ )β ＝（－ｔａｎα）３＋（－ｔａｎα）． （） 设ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ，则ｆ（ｘ）是Ｒ上的增函数． 由（）式知 (ｆ３ｔａｎα＋ １ｔａｎ )β ＝ｆ（－ｔａｎα）， 所以３ｔａｎα＋ １ｔａｎβ ＝－ｔａｎα， 则４ｔａｎα＋ １ｔａｎβ ＝０． 点评：本题若不注意考察题设特点，用函数看问 题，而是按照通常方法，去括号，因式分解，不易解决， 且比较繁杂．一般地，若ｙ＝ｆ（ｘ）是区间Ｄ上的单调函 数，则对于ｘ１，ｘ２∈Ｄ，ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）ｘ１ ＝ｘ２．本题就 是运用单调函数这一性质解题的典型例题． 例３ 设ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓ２ｘ＋槡３ｓｉｎｘ＋ａ（ａ∈Ｒ），当 ｘ∈ ０，π[ ]２ 时，ｆ（ｘ）的最大值为４，则ａ＝ ． 解：ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓ２ｘ＋槡３ｓｉｎｘ＋ａ ＝－２ｓｉｎ２ｘ＋槡３ｓｉｎｘ＋２＋ａ ＝－２ｓｉｎｘ－槡３( )４ ２ ＋１９８＋ａ． 因为ｘ∈ ０，π[ ]２ ，所以ｓｉｎｘ∈［０，１］． 所以当ｓｉｎｘ＝槡３４时，ｆ（ｘ）有最大值 １９ ８＋ａ． 则由题意得 １９ ８＋ａ＝４，解得ａ＝ １３ ８． 点评：本题先利用 ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１进行“化同 名”，再把问题转化为求二次函数在某一区间上的最值 问题，需要注意三角函数的取值范围． 例４已知Ｏ为原点，点Ａ，Ｂ的坐标分别为（ａ，０）， （０，ａ），其中常数 ａ＞０，点 Ｐ在线段 ＡＢ上，且→ＡＰ＝ →ｔＡＢ（０≤ｔ≤１），求→ＯＡ·→ＯＰ的最大值． 分析：首先通过坐标运算求得向量 →ＯＰ，然后通过数 量积公式建立 →ＯＡ·→ＯＰ关于变量ｔ的函数，再利用一次 函数的单调性可求得最值． 解：因为 → → →ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡ＝（－ａ，ａ）， 所以 → →ＡＰ＝ｔＡＢ＝（－ｔａ，ｔａ）， → → →ＯＰ＝ＯＡ＋ＡＰ＝（ａ－ｔａ，ｔａ）， 所以 →ＯＡ·→ＯＰ＝ａ（ａ－ｔａ）＝ａ２（１－ｔ）， 又函数ｙ＝ａ２（１－ｔ）在ｔ∈［０，１］上是减函数， 故当ｔ＝０时，→ＯＡ·→ＯＰ取得最大值ａ２． 例５已知向量ａ＝（１，２），ｂ＝（－３，２），向量ｘ＝ ｋａ＋ｂ，ｙ＝ａ－３ｂ． （１）当ｋ为何值时，向量ｘ⊥ｙ； （２）若向量ｘ与ｙ的夹角为钝角，求实数ｋ的取值 范围． 分析：第（１）小题利用两向量垂直建立关于ｋ的方 程，进而可求得 ｋ的值；第（２）小题根据向量的夹角公 式建立关于 ｋ的不等式，然后根据向量共线建立方程， 求得共线时的ｋ值，这是要从ｋ的取值范围中去掉的． 解：由已知可得ｘ＝ｋａ＋ｂ＝（ｋ－３，２ｋ＋２），ｙ＝ ａ－３ｂ＝（１０，－４）． （１）由ｘ⊥ｙ，得ｘ·ｙ＝０， 所以１０（ｋ－３）－４（２ｋ＋２）＝０，解得ｋ＝１９． （２）由ｘ·ｙ＝（ｋ－３，２ｋ＋２）·（１０，－４） ＝２ｋ－３８， 设向量ｘ与ｙ的夹角θ，则ｃｏｓθ＝ ｘ·ｙ｜ｘ｜｜ｙ｜＜０， 则２ｋ－３８＜０，即ｋ＜１９．