综合测试题（一）-【数理报】2021-2022学年高中数学必修4《巩固提高一本通》（北师大版）

书 第４８期２版 简单的三角恒等变形同步测试题 一、选择题 １．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ａ；　５．Ｂ；　６．Ｂ；　７．Ｃ；　８．Ｃ． 二、填空题　９ [． ｋπ＋５π１２，ｋπ＋１１π]１２ ，ｋ∈Ｚ；　１０．２３． 三、解答题 １１．解：在锐角△ＡＢＣ中，由ｓｉｎＡ＝ 槡２２３ 可得ｃｏｓＡ＝ １ ３， 则ｔａｎ２Ｂ＋Ｃ２ ＝ １－ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ） １＋ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）＝ １＋ｃｏｓＡ １－ｃｏｓＡ＝２． １２．证明：左边 ＝ ｓｉｎα ｃｏｓα · ｓｉｎ２α ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ｃｏｓ２α －ｓｉｎαｃｏｓα ＋槡３（ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α） ＝ ｓｉｎαｓｉｎ２αｓｉｎ２αｃｏｓα－ｃｏｓ２αｓｉｎα －槡３ｃｏｓ２α ＝ｓｉｎ２α－槡３ｃｏｓ２α＝ (２ｓｉｎ ２α－π )３ ＝右边． 故原式成立． １３．解：ｍ·ｎ＝槡３ｓｉｎ ｘ ４·ｃｏｓ ｘ ４ ＋ｃｏｓ ２ ｘ ４ ＝槡３２ｓｉｎ ｘ ２ ＋ １＋ｃｏｓｘ２ ２ ＝ (ｓｉｎ ｘ２ ＋π )６ ＋１２， 因为ｍ·ｎ＝１，所以 (ｓｉｎ ｘ２ ＋π )６ ＝ １２． (ｃｏｓ ｘ＋π )３ ＝１－２ｓｉｎ (２ ｘ２ ＋π )６ ＝ １２， (ｃｏｓ ２π３ )－ｘ ＝－ (ｃｏｓ ｘ＋π )３ ＝－１２． 第４８期３版 三角恒等变形综合测试题 一、选择题 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．Ｃ；　５．Ｃ；　６．Ａ； ７．Ｃ；　８．Ｃ；　９．Ｄ；　１０．Ｄ；　１１．Ｃ；　１２．Ｃ． 二、填空题 １３．８；　１４．槡３；　１５． １ ２；　１６． １ （ａ２＋ｂ２）１０９ ． 三、解答题 １７．解： ２ｃｏｓ ２α－１ (２ｔａｎ π４ － )α ｓｉｎ (２ π４ ＋ )α ＝ ｃｏｓ２α (２ｔａｎ π４ － )α ·ｃｏｓ(２ π４ － )α ＝ ｃｏｓ２α (２ｓｉｎ π４ － )α · (ｃｏｓ π４ － )α ＝ ｃｏｓ２α (ｓｉｎ π２ －２ )α ＝ｃｏｓ２αｃｏｓ２α ＝１． １８．解：（１）ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ＝２π３． （２）当ｘ＝ π１２时，ｆ（ｘ）取得最大值４，则Ａ＝４． 因为０＜φ＜π，所以φ＝ π４． 所以ｆ（ｘ）＝４ｓｉｎ３ｘ＋π( )４ ． （３）因为ｆ ２ ３α＋ π( )１２ ＝４ｓｉｎ２α＋π( )２ ＝４ｃｏｓ２α＝ １２ ５． 所以ｃｏｓ２α＝ ３５． １９．解：（１）因为ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｘ＋槡３ｓｉｎ２ｘ ＝２ｓｉｎ２ｘ＋π( )６ ． 所以ｆ（ｘ）的最小正周期是Ｔ＝２π２ ＝π． （２）因为０＜ｘ＜ π３，所以 π ６ ＜２ｘ＋ π ６ ＜ ５π ６． 所以 １ ２ ＜ｓｉｎ２ｘ＋ π( )６ ≤１． 所以１＜２ｓｉｎ２ｘ＋π( )６ ≤２． 故ｙ＝ｆ（ｘ）的值域为（１，２］． ２０．解：（１）ｆ（ｘ）＝ａ＋ｂｓｉｎ２ｘ＋ｃｃｏｓ２ｘ ＝ａ＋ ｂ２＋ｃ槡 ２ｓｉｎ（２ｘ＋φ） ｔａｎφ＝ ｃ( )ｂ ， 由题意，可得 ａ＋ｃ＝１， ａ＋ｂ＝１， ａ＋ ｂ２＋ｃ槡 ２ ＝ 槡２２－１ { ， 高中数学必修４章节测试题（一） 一、选择题 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．Ｃ；　５．Ｃ；　６．Ａ； ７．Ｃ；　８．Ｂ；　９．Ｂ；　１０．Ｃ；　１１．Ａ；　１２．Ｃ． 提示： １．由题意得ｃｏｓα＝－３５ ＝ －３ ９＋ｙ槡 ２ ，解得ｙ＝－４，所以 ｔａｎα＝ ｙ－３＝ ４ ３． ２．因为Ｐ（－２ｃｏｓ６０°，－槡２ｓｉｎ４５°），即Ｐ（－１，－１）， 所以ｓｉｎα＝ －１ （－１）２＋（－１）槡 ２ ＝－槡２２． ３． (ｓｉｎ π６－ )α ＝４５，则 (ｃｏｓ π３＋ )α ＝ (ｓｉｎ π２－π３ － )α ＝ (ｓｉｎ π６ － )α ＝ ４５． ４．由题设可得 １２ｓｉｎθ＋ 槡３ ２ｃｏｓθ＝３ｓｉｎθ，即５ｓｉｎθ＝ 槡３ｃｏｓθｔａｎθ＝槡 ３ ５． ６．因为ｘ [∈ ０，２π]３ ，又０＜ω＜１， 所以０≤ωｘ≤２ωπ３ ＜ ２π ３， 所以ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｔａｎ ２ωπ ３ ＝ｔａｎ π ３ ＝槡３， 即 ２ωπ ３ ＝ π ３，所以ω＝ １ ２． ７．ｙ＝ｃｏｓｘ·｜ｔａｎｘ｜＝ ｓｉｎｘ，ｘ∈ ０，π[ )２ ， －ｓｉｎｘ，ｘ∈ －π２，( ){ ０，故其图 像为（Ｃ）选项． ８． (ｓｉｎ π６ )－ｘ ＝ [ｓｉｎ π２ (－ ｘ＋π ) ]３ ＝ (ｃｏｓ ｘ＋ π )３ ，则ｙ＝ (ｓｉｎ ２ｘ＋２π)３ ，向右平移φ（φ＞０）个单位得： ｙ＝ [ｓｉｎ ２（ｘ－φ）＋２π]３ ＝ (ｓｉｎ ２ｘ－２φ＋２π)３ ， 因为平移后的函数恰为偶函数，所以ｘ＝０为其对称轴， 所以ｘ＝０时，ｙ＝±１，所以 －２φ＋２π３ ＝ｋπ＋ π ２，ｋ∈Ｚ， 即φ＝－ｋπ２ ＋ π １２，