第16讲 轴对称中“将军饮马”模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第16讲 轴对称中“将军饮马”模型（核心考点讲与练） 【知识梳理】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 类型一：两定一动之点点 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 类型二：两定两动之点点 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 类型三：一定两动之点线 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【核心考点精讲】 1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B. 2、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______． 【答案】（，）． 【详解】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案为：（，）． 3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为　　 A．3 B．4 C． D． 【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C’在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C’E+EF，当C’、E、F共线时得最小值，C’F为CB的一半，故选C． 4、如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是　　 A． B．2 C． D．4 【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN’． 因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C． 【过关检测】 一．选择题（共6小题） 1．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（　　） A．7 B．6 C．9 D．10 【分析】连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值． 【解答】解：如图所示，连接BM， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∴AM+CM＝BM+CM， 当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长， 又∵AC＝4，BC＝6， ∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称—最短路线问题以及线段垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 2．（2021秋•河东区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】由题意可知作B点关于该垂直平