第15讲 等腰三角形中的半角模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第15讲等腰三角形中的半角模型（核心考点讲与练） 【知识梳理】 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 【核心考点精讲】 1.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△，当∠DAE=45°时，求证：DE=；在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由. 解析： 因为△ABD绕点A旋转，得到 ∴AD=，∠DAD’=∠BAC=90° ∵∠DAE=45° ∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45° ∴在△AED和△中 AE=AE ∠EAD=∠AED’ AD=AD’ ∴△AED≌△AED’ ∴DE=D’E 由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’ 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90° ∴∠B=∠ACB=45° ∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’ ∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45° ∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90° 2、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系， 如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______ 如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;=_______ 点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明. 解析：（1）如图2，延长AC至E，使CE=BM,连接DE 可得△MBD≌△ECD(SAS) ∴DM=DE,∠BDM=∠CDE ∴∠EDM=∠BDC-∠MDN=60° 同理可得△MDN≌△EDN(SAS) ∴MN=NE=NC+BM ∵△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NV+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB 等边△ABC的周长L=3AB=9，AB=3，则Q=6 （2）如图，BM,NC,MN之间的数量关系BM+NC=MN.此时 （3）（2）中的结论仍然成立，证明参考（1）3、（1）问题发现 如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，则AC与BD的数量关系是　 　． （2）类比探究 如图2，将∠COD绕点O在平面内旋转，（1）中的结论是否成立，并就图2的情形说明理由． （3）拓展延伸 ∠COD绕点O在平面内旋转，当旋转到OD∥AB时，请直接写出∠BOD度数． 解：问题发现 （1）∵将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C， ∴OC＝OD，且OA＝OB， ∴AC＝BD， 故答案为：AC＝BD； （2）结论仍然成立， 理由如下： ∵将∠COD绕点O在平面内旋转， ∴∠COD＝∠AOB， ∴∠BOD＝∠AOC，且AO＝BO，CO＝DO， ∴△AOC≌△BOD（SAS） ∴AC＝BD； （3）∵OA＝OB，∠AOB＝50°， ∴∠OAB＝∠OBA＝65°， 当点D在点O左侧， ∵OD∥AB， ∴∠BOD+∠OBA＝180°， ∴∠BOD＝115°， 当点D在点O右侧， ∵OD∥AB， ∴∠BOD＝∠OBA＝65°． 【过关检测】 一．选择题（共6小题） 1．（2021秋•长葛市期中）如图，Rt△ABC中AB＝AC，D、E为BC边上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列4个结论：①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE+EF＝BC﹣BF．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质、线段和差可判断④． 【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB， ∴△ADC≌△AFB，①正确； ∵EA与DA不一定相等， ∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误； ∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠DAE＝45°， 在△AED和△AEF中， ， ∴△AED≌△AEF，③正确； ∴DE＝EF， ∴BE+EF＝BE+DE＝BD， ∵△ADC≌△AFB， ∴BF＝CD， ∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣BF， ∴BE+EF＝BC﹣BF，④正确； ∴正确的有①③④共3个， 故