专题1.1 菱形中的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题1.1 菱形中的综合 【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值； （2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出v的值． 【思路点拨】 （1）分四种情况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论； （2）分两种情形分别求解即可解决问题． 【解题过程】 解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时， ∵AP∥BQ， ∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四 边形． 此时，t＝22﹣3t，t． 当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时， ∵PD∥QC， ∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四 边形． 此时，16﹣t＝3t，t＝4， ∵线段PQ为平行四边形的一边， 故当t或4时，线段PQ为平行四边形的一边． （2）当四边形PBQD能成为菱形时，设PA＝x， 在Rt△APB中，则有82+x2＝（16﹣x）2， 解得x＝6， ∴PD＝16﹣6＝10． ∴BQ＝PD＝10， ∴QC＝BC﹣BQ＝22﹣10＝12， ∴v米/秒； 当四边形AQCP是菱形时，可得AP＝AQ＝CQ＝y． 在Rt△ABQ中，则有82+（22﹣y）2＝y2， 解得y， ∴AP． ∴QC＝AP， ∴v1米/秒； 综上所述，v的值为2或1时，满足条件． 1．（2021春•孝义市期中）如图，△ABC中，AC，BC＝4，AB，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（　　） A． B．8 C． D． 2．（2021春•温江区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A．4 B．3 C． D．2 3．（2022春•新华区月考）问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形． 几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　） 甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错 C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错 4．（2021秋•垦利区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论： ①OGAB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 5．（2021春•澄海区期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论： ①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形； ③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．（2022春•宜兴市校级月考）如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 　 　． 7．（2020•寿光市二模）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于　 　． 8．（2021•葫芦岛模拟）如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是 　 　 9．（2020春•永州期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E