专题6 概率-【满分冲刺】2021-2022学年高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版2019必修第二册）

概率 ★★★★★★期末导航★★★★★★ ★★★★★★知识回顾★★★★★★ 1．随机试验的特点 (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2．有限样本空间与随机事件 (1)有限样本空间：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}为有限样本空间． (2)样本空间Ω的子集称为随机事件，称Ω为必然事件，称∅为不可能事件． 3．事件的关系与运算 事件关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 4．古典概型计算公式 P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 5．概率的基本性质 性质1 对任意事件A，都有P(A)≥0； 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1；P(∅)＝0； 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)； 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 6．事件的相互独立性 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 7．频率与概率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，可以用频率fn(A)估计概率P(A)． ★★★★★★掌握题型★★★★★★ 考点一 互斥事件、对立事件与相互独立事件 1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况. 2.掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 【例1】(1)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是(　　) A.A与B，A与C均相互独立 B.A与B相互独立，A与C互斥 C.A与B，A与C均互斥 D.A与B互斥，A与C相互独立 (2)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是(　　) A.① B.②④ C.③ D.①③ 【方法技巧】事件间的关系的判断方法 (1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系. (2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断. (3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)·P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立. 【跟踪训练】 1.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　) A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 2.下列事件A，B是相互独立事件的是(　　) A.一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面” B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数” D.有一个灯泡，A表示“灯泡能用1 000小时”，B表示“灯泡能用2 000小时” 考点二 古典概型 1.古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等