专题4 立体几何-【满分冲刺】2021-2022学年高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版2019必修第二册）

立体几何 ★★★★★★期末导航★★★★★★ ★★★★★★知识回顾★★★★★★ 一、空间几何体的结构特征 1．多面体及其结构特征 (1)棱柱：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行． (2)棱锥：①有一个面(底面)是多边形； ②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台：①上、下底面互相平行，且是相似图形；②各侧棱延长线相交于一点． 2．旋转体及其结构特征 (1)圆柱：①圆柱的轴垂直于底面；②圆柱的轴截面是矩形；③圆柱的所有母线相互平行且相等，且都与圆柱的轴平行；④圆柱的母线垂直于底面． (2)圆锥：①圆锥的轴垂直于底面；②圆锥的轴截面为等腰三角形；③圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线，圆锥的母线有无数条；④圆锥的底面是一个圆面． (3)圆台：①圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；②圆台两底面圆所在平面互相平行且和轴垂直；③圆台有无数条母线；④圆台的母线延长线交于一点． 二、空间几何体的直观图 1．斜二测画法中“斜”和“二测” “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2．斜二测画法中的建系原则 在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等． 三、空间几何体的表面积和体积 1．多面体的表面积 各个面的面积之和，也就是展开图的面积． 2．旋转体的表面积 圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)． 圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． 圆台：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)． 球：S＝4πR2. 3．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)柱体的体积公式： V柱体＝Sh(S底面面积，h为高)． (2)锥体的体积公式V锥体＝Sh(S底面面积，h为高)． (3)台体的体积公式 V台体＝(S＋＋S′)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)． (4)球的体积公式V＝πR3. 四、空间点、线、面之间的位置关系 1．平面的基本性质 四个基本事实及其作用 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 作用：可用来证明点、直线在平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 作用：判断空间两条直线平行的依据． 2．空间中两直线的位置关系 空间中两直线的位置关系 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 五、直线、平面平行的判定与性质 1．直线与平面平行 (1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)． (2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)． 2．平面与平面平行 (1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)． (2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 六、直线、平面垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)异面直线所成的角： 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (3)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (4)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 2．平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义： 两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直． (3)性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面． ★★★★★★掌握题型★★★★★★ 考点一 几何体的表面积与体积 【例1】如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积