专题3 复数-【满分冲刺】2021-2022学年高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版2019必修第二册）

复数 ★★★★★★期末导航★★★★★★ ★★★★★★知识回顾★★★★★★ 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． 一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0. (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模： 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [常用结论] (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)； i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． (4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. ★★★★★★掌握题型★★★★★★ 考点一 复数有关的概念 1．已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3.故选D. 2．已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　) A．－3－i B．－3＋i C．3＋i D．3－i 3．已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＝________. 【方法技巧】解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． 考点二 复数的运算 1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 2．(2022·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　) A．5 B．5i C．－－i D．－＋i ＝＝5，故选A. 3．(2022·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　) A．i B．－1＋i C．－1－i D．－i 由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C. 4．设z＝＋2i，则|z|＝(　　) A．0 B． C．1 D. ∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C. 【方法技巧】 复数代数形式运算问题的解题策略 复数的加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可 复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可 复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式 考点三 复数的集合意义 1．设z＝－3＋2i，则在复平面内　对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 3．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C