专题1 三角恒等变换-【满分冲刺】2021-2022学年高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版2019）

三角恒等变换 ★★★★★★期末导航★★★★★★ ★★★★★★知识回顾★★★★★★ 1．两角和与差的余弦公式 C（α－β）：cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ． C（α＋β）：cos（α＋β）＝ cos αcos β－sin αsin β ． 2．两角和与差的正弦公式 S（α＋β）：sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β ． S（α－β）：sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ． 3．两角互余或互补 （1）若α＋β＝，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与互余，＋α与互余． （2）若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与互补，与－α互补． 4．两角和与差的正切公式 （1）T（α＋β）：tan（α＋β）＝ ． （2）T（α－β）：tan（α－β）＝ ． 5．两角和与差的正切公式的变形 （1）T（α＋β）的变形： tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β） ． tan α＋tan β＋tan αtan βtan（α＋β）＝tan（α＋β） ． tan α·tan β＝． （2）T（α－β）的变形： tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β） ． tan α－tan β－tan αtan βtan（α－β）＝tan（α－β） ． tan αtan β＝． 6.倍角公式及其变形形式 sin 2α＝2sinαcosα； cos 2α＝cos2α-sin2α＝2cos 2α-1＝1-2sin2α ； cos2α＝； sin2α＝； tan 2α＝ tan 2α＝＝（α≠kπ，k∈Z）． 关于两角差的余弦公式的三点说明 (1)公式的结构特点 公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式中的角α，β 公式中的角α，β不仅可以是角，而且可以是任意的整体，可以根据题目需要进行替换、变形代入，展开式仍然成立． (3)公式的灵活应用 首先是公式的逆用，可以把符合公式特点的展开式合并，其次是角的灵活变化，如cos α＝cos[(α＋β)－β]． 两角和与差的正弦、余弦公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系． C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律． 对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”． 对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”． 两角和与差的正切 公式的结构特征及符号特征如下： (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β 的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 3．两角和与差的正切公式的变形与特例 (1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－. (2)公式的特例：tan＝； tan＝. 二倍角公式的理解 (1)对于“二倍角”应该广义地理解，如：8α是4α的二倍角，3α是α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角，… (2)对于各个公式，要明确各公式成立的条件，其中sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α对任意角α都成立，而tan 2α的公式则具有局限性． 二倍角公式的应用 (1)二倍角公式的逆用：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos 2α，＝tan 2α. (2)二倍角公式变形用：①升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2，1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2. ②降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，(sin α±cos α)2＝1±sin 2α. 半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，sin，cos，tan 便可求出． 由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件． asin x＋bcos x＝ sin(x＋θ)（其中）. ★★★★★★掌握题型★★★★★★ 考点一 三角函数式的化简 【例1】 (1) 等于（ ） A． B． C． D． （2）的结果是（ ） A．1 B． C． D． 【方法技