[名校联盟]福建省大田县第四中学九年级数学说题稿：二次函数综合题

一、题目： 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2-10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK] （1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；[来源:学科网] （3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 二、题目分析： 本题的已知条件：△ABC的三个顶点坐标，△ABC与△DBC关于直线BC对称，抛物线y=ax2-10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上；关键词：顶点M在直线BC上（点M既在抛物线y=ax2-10ax+c上又在直线BC上）。 三、背景介绍： 本题是中考的压轴题，考查了二次函数综合题。涉及的知识点有：主要有勾股定理的应用，翻折的性质，特殊四边形菱形的判别，二次函数的顶点坐标、对称轴以及二次函数的解析式的求法，在等底情况下三角形的面积相等的条件，角平分线的性质应用。意在于考查学生对基础知识和基本技能的掌握程度，培养学生的观察、分析、概括、归纳及语言表达能力。 四、设计理念： 在教学中引导学生从不同角度、不同知识、不同的思想方法来思考问题，能是各个层次的学生都达到一定的效果，也能使学生从单一的思维模式中解放出来，达到以创新方式来解决问题，培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。 五、解题策略： (1)根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定和性质可得点D的坐标； 证明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8）， ∴AB=6+4=10，AC==10， ∴AB=AC， 由翻折可得，AB=BD，AC=CD， ∴AB=BD=CD=AC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB， ∵C（0，8）， ∴点D的坐标是（10，8）。 (2)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求M的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式； ∵y=ax2-10ax+c， ∴对称轴为直线x=﹣=5． 设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得． ∴y=﹣2x+8． ∵点M在直线y=﹣2x+8上，