第40期 19.2.3一次函数与方程、不等式（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年下学期八年级下册初二数学（人教版）

书 一、根据图象的交点直接写出二元一次方程组的解 例１　 如图１，在平面直角 坐标系中，一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ 和 ｙ＝ｍｘ＋ｎ相交于点（２， －１），则关于 ｘ，ｙ的方程组 ｋｘ＝ｙ－ｂ，{ｍｘ＋ｎ＝ｙ的解是 （　　） Ａ． ｘ＝－１， ｙ＝{ ２ Ｂ． ｘ＝２， ｙ＝－{ １ Ｃ． ｘ＝１， ｙ＝{ ２ Ｄ． ｘ＝２， ｙ＝{ １ 分析：利用二元一次方程组的解就是两个相应的一 次函数图象的交点坐标解决问题． 解：因为一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ和ｙ＝ｍｘ＋ｎ相交于 点（２，－１）， 所以 ｋｘ＝ｙ－ｂ，{ｍｘ＋ｎ＝ｙ的解为 ｘ＝２， ｙ＝－１{ ． 故选Ｂ． 二、根据二元一次方程组的解确定一次函数图象的 交点 例２　中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章 记载用算筹（方阵）表示二元一次方程组的方法，发展 到现代就是用矩阵式 ａ１　ｂ１ ａ２　ｂ ( ) ２ ｘ( )ｙ＝ ｃ１ ｃ( )２ 来表示二元一 次方程组 ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＝ｃ１， ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＝ｃ２ { ， 而该方程组的解就是对应的 两条直线（不平行）ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＝ｃ１与ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＝ｃ２的交 点坐标 Ｐ（ｘ，ｙ）．根据此法，则矩阵式 ３　 －１( )２　 １ ｘ( )ｙ＝ ７( )３所对应的两条直线的交点坐标是 ． 分析：根据矩阵式 ａ１　ｂ１ ａ２　ｂ ( ) ２ ｘ( )ｙ＝ ｃ１ ｃ( )２ 来表示关于 ｘ，ｙ的二元一次方程组 ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＝ｃ１， ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＝ｃ２ { ， 可得矩阵式 ３　 －１( )２　 １ ｘ( )ｙ＝ ７( )３即表示 ３ｘ－ｙ＝７， ２ｘ＋ｙ＝３{ ，解方程组即 可． 解：根据题意，得 ３　 －１( )２　 １ ｘ( )ｙ＝ ７( )３表示二元一 次方程组 ３ｘ－ｙ＝７， ２ｘ＋ｙ＝３{ ．解得 ｘ＝２， ｙ＝－１{ ． 所以矩阵式 ３　 －１( )２　 １ ｘ( )ｙ＝ ７( )３所对应的两条直 线的交点坐标是（２，－１）． 故填（２，－１）． 三、根据图象的交点确定对应的二元一次方程组 例３　小亮用画图象的方法 解二元一次方程组时，在同一直 角坐标系中画出了相应的两个 一次函数的图象，如图２，则他解 的这个方程组是 ． 分析：联立两个函数解析式就是所求的方程组，为 此需根据图象的交点坐标应用待定系数法分别求出两 个一次函数解析式． 解：由图象可知，直线ｌ１经过点（－３，２），（３，０）． 设直线ｌ１对应的一次函数的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ． 所以 －３ｋ＋ｂ＝２， ３ｋ＋ｂ＝０{ ． 解得 ｋ＝－１３， ｂ＝１ { ． 所以直线 ｌ１对应的一次函数的解析式为 ｙ＝ －１３ｘ＋１． 由图象可知，直线ｌ２经过点（－３，２），（－６，０）． 设直线ｌ２对应的一次函数的解析式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ． 所以 －３ｍ＋ｎ＝２， －６ｍ＋ｎ＝０{ ．解得 ｍ＝ ２３， ｎ＝４ { ． 所以直线ｌ２对应的一次函数的解析式为ｙ＝ ２ ３ｘ＋４． 所以 直 线 ｌ１，ｌ２ 的 交 点 坐 标 可 看 作 方 程 组 ｘ＋３ｙ＝３， ２ｘ－３ｙ＝－{ １２的解． 故填 ｘ＋３ｙ＝３， ２ｘ－３ｙ＝－１２{ ． 书 根据一次函数的图象可以求解一元一次不等式（组）， 这是用函数的观点看待不等式（组）的方法，使同学们 初步形成以“形”解“数”的思维． 一、一条直线与一元一次不等式 例１　直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ在平面 直角坐标系中的位置如图１所示， 则不等式ｋｘ＋ｂ≤２的解集是 （　　） Ａ．ｘ≤－２ Ｂ．ｘ≤－４ Ｃ．ｘ≥－２ Ｄ．ｘ≥－４ 分析：根据待定系数法求得直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ的解析 式，然后求得函数ｙ＝２时的自变量的值，根据图象即可 求解． 解：由图象，得直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ经过点（２，０），（０，１）． 所以 ２ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝１{ ． 解得 ｋ＝－１２， ｂ＝１ { ． 所以图１中的直线为ｙ＝－１２ｘ＋１． 当ｙ＝２时，－１２ｘ＋１＝２． 解得ｘ＝－２． 由图象，得不等式ｋｘ＋ｂ≤２的解集是ｘ≥－２． 故选Ｃ． 二、两条直线与一元一次不等式 例２　如图２，是一次函数 ｙ１ ＝ｋｘ＋ｂ与ｙ２＝ｘ＋ａ的图象，则不 等式ｋｘ－ｘ＜ａ－ｂ的解集是 （　　） Ａ．ｘ＜３ Ｂ．ｘ＞３ Ｃ．ｘ＜ａ＋ｂ Ｄ．ｘ＞ａ－ｂ 分析：先将已知不等式进行变形，然后利用函数图 象，写出直线ｙ１在直线ｙ２下方时所对应的自变量的取值 范围即可． 解：不等式ｋｘ－ｘ＜ａ－ｂ可以转化为ｋｘ＋ｂ＜ｘ＋ａ． 由图象，得当ｘ＞３时，ｙ１ ＜ｙ２，即ｋｘ＋ｂ＜ｘ＋ａ． 所以不等式ｋｘ－ｘ＜ａ－ｂ的解集为ｘ＞３． 故选Ｂ． 三、两条直线与一元一次不等式组 例３　如图３，直线ｙ＝ｘ＋ ｂ和ｙ＝ｋｘ＋２与ｘ轴分别交于点 Ａ（－ ２，０）， 点 Ｂ（３，０）， 则 ｘ＋ｂ＞０， ｋｘ＋２＞{ ０的解集为 ． 分