1.3复数（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

1.3 复数 【题型解读】 【知识储备】 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 4．复数的三角形式 如图的复平面中，r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)． 任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式． 对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式． 复数乘、除运算的三角表示：已知复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则 z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 【题型精讲】 【题型一　复数的有关概念】 必备技巧 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 例1　（2022·安徽淮北·一模）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（       ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第四象限 C． D．的共轭复数为 【答案】D 【解析】. 的虚部为，故A错误； 在复平面内对应的点在第一象限，故B错误； ，故C错误； 的共轭复数为，故D正确. 故选：D. 例2　（2022·安徽黄山·二模）已知复数满足，则的虚部为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ，故复数的虚部为. 故选：A 例3　（2022·辽宁·二模）设（i为虚数单位），若为实数，则a的值为（       ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】， 因为为实数，所以，解得.故选：A. 【题型精练】 1. （2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（       ） A．若是纯虚数，则这个纯虚数为 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在第一象限，则 D．当时， 【答案】D 【解析】， 对于A：当是纯虚数时，则且，解得，此时这个纯虚数为，故A不正确； 对于B：当为实数时，则，解得，故B不正确； 对于C：当在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，故C不正确； 对于D：当时，，所以，故D正确，故选：D. 2．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（       ） A． B． C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限 【答案】AC 【解析】因为为实数，所以，解得， 所以，，所以，故A正确， ，故B错误， 因为，所以，故C正确， 因为，所以，其对应的点在第四象限，故D错误． 故选:AC． 3．（2022·江西鹰潭·一模）已知复数满足 （其中为虚数单位），则复数的虚部为（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】依题意， ， 所以的虚部为. 故选：C 4. （2022·内蒙古赤峰·三模）若复数满足，则（       ） A． B．是纯虚数 C．复数在复平面内对应的点在第二象限 D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则 【答案】D 【解析】由题设，且对应点在第一象限，A、C错误； 不是纯虚数，B错误；由在复平面内对应的点为，所以，D正确. 故选：D 【题型二　复数的四则运算】 必备技巧 复数的四则运算 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 例4　（2022·陕西·西