A卷 第五单元 三角恒等变换-【满分金卷·必刷题】新教材2021-2022学年高中数学必修第三册单元双练双测AB卷(人教B版)

—79— —80— 10.ABC 解析:对于A,结合非零平面向量共线的充要条件,显 然成立,故 A正确;对于B,设△ABC 中,BC 边的中点为D, 由向量加法的平行四边形法则,可知AB→+AC→=2AD→,故AD→ =12 (AB→+AD→),故B正确;对于C,因为|a+b|=|a-b|,故 (a+b)2=(a-b)2,整理得a·b=0,故a⊥b,故C正确;对于 D,当a⊥c,b⊥c时,a·c=b·c=0,此时,未必满足a=b,故 D错误.故选ABC. 11.ABD 解析:设向量a和b的夹角为θ, 因为|a|=1,|b|=1,a·b=- 33 , 所以cosθ= a ·b |a||b|=- 3 3 , 所以向量b在向量a 上的投影向量 c=|b|cosθ·a=- 33a ,|c|= 33 , 向量a在向量b上的投影向量 d=|a|cosθ·b=- 33b ,|d|= 33 , 所以|c|=|d|,故A正确,C错误; 又a·c=a· - 33a =- 33=a·b,故B正确; c·d= - 33a · - 33b = 13a·b= 13 × - 33 = - 39 ,故D正确.故选ABD. 12.ABD 解析:A:∵a=(2,1),b=(-3,1), ∴a+b=(-1,2), ∵(a+b)·a=-1×2+1×2=0, ∴(a+b)⊥a,∴A正确, B:∵a+2b=(-4,3), ∴|a+2b|= 42+32=5,∴B正确, C:∵向量a在向量b方向上的投影的数量是 a·b |b|= -5 (-3)2+12 =- 102 ,∴C错误, D:∵与向量a方向相同的单位向量是 a |a|= 1 22+12 (2,1)= 25 5 ,5 5 , ∴D正确.故选ABD. 13.3 解析:∵|a|=2,|b|=1,a·b=-1, ∴(a+b)2=a2+2a·b+b2=4-2+1=3, ∴|a+b|= 3. 故答案为 3. 14.λ<53 且λ≠-35 解析:∵a=(λ,1),b=(-3,5), 且a与b的夹角为锐角, ∴a·b=-3λ+5>0,解得λ<53 , 但当5λ=1×(-3),即λ=-35 , 两向量平行,应舍去, ∴λ的取值范围为λ<53 且λ≠-35 , 故答案为λ<53 且λ≠-35. 15.-4 解析:设BN→在向量AM→方向上的投影为x, 则BN→·AM→=|AM→|·x, 当x最小时,BN→·AM→取得最小值, 结合图形可知,当 N 点与A 点重合时x 最小, 所 以(BN→·AM→)min=BA→·AM→=-AB→ AD→+12AB → = - AD→·AB→+12AB →2 =- 2×2×12+12×22 =-4. 故答案为-4. 16.233 3 2- 3 解析:以O 为原点,OB 为x 轴,建立如图所 示的平面直角坐标系, 设∠BOP=θ,则P(cosθ,sinθ),B(1,0),A 1 2 ,3 2 . 因为OP→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R), 所以 cosθ=12λ+μ , sinθ= 32λ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 λ=233sinθ , μ=cosθ- 3 3sinθ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以λ+μ=cosθ+ 3 3sinθ= 23 3sinθ+ π 3 . 因为点P 在弧AB︵上,所以0≤θ≤π3. 所以当θ=π6 时,λ+μ取得最大值 23 3 . 而PA→= 1 2-cosθ ,3 2-sinθ ,PB→=(1-cosθ,-sinθ), 所以PA→·PB→= 12-cosθ (1-cosθ)+ 32-sinθ (-sinθ) =32- 3 2cosθ- 3 2sinθ =32- 3sinθ+ π 3 . 因为0≤θ≤π3 ,所以π 3≤θ+ π 3≤ 2π 3. 所以当θ+π3= π 2 时,PA→·PB→取得最小值32- 3. 故答案为23 3 ,3 2- 3. 17.解:(1)因为a=(1,1),所以|a|= 2, 所以a·b=|a|·|b|cosπ4= 2×1× 2 2=1. (2)因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0, 所以a·b+b2=0,所以a·b=-1, 所以cosθ= a ·b |a||b|= -1 2 =- 22 , 因为θ∈[0,π],所以θ=3π4. 故a与b的夹角为3π4. 18.解:(1)因为|a|=2,|b|=3, 所以(2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b2=16-4a·b- 27=-7, 所以a·b=-1, 因为a-b与3a+kb垂直, 所以(a-b)·(3a+kb)=0, 即3a2+ka·b-3a·b-kb2=0, 所以12-k+3-9k=0,即k=32.