A卷 第四单元 向量的数量积-【满分金卷·必刷题】新教材2021-2022学年高中数学必修第三册单元双练双测AB卷(人教B版)

—75— —76— 22.解:(1)因为f(x)= 2cos2x-π4 , 所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π , 令-π+2kπ≤2x-π4≤2kπ ,k∈Z, 得-3π8+kπ≤x≤ π 8+kπ ,k∈Z, 故函数f(x)的单调递增区间为 -3π8+kπ ,π 8+kπ (k∈Z). (2)易知f(x)= 2cos2x-π4 在区间 -π8,π8 上为增 函数,在区间 π 8 ,π 2 上为减函数, 又f -π8 =0,f π8 = 2,f π2 =-1, 则f(x)大致图像如图所示, ∴当a∈[0,2)时,方程f(x)=a恰有两个不同的实数根. 第四单元(A卷) 1.B 解析:由平面向量数量积的定义可得, m·n=|m|·|n|cos45°=4×6× 22=122. 故选B. 2.D 解析:a·b+b·c+c·a=1×1×cos120°+1×1× cos120°+1×1×cos120°=-32. 故选D. 3.D 解析:设BN 交AC 于点D,如图所以, 由题意可得,点 N 为△ABC的重心, 则|AM|= 3,|BN|=233 ,∠DNM=120°, 所以AM→·BN→=|AM→|·|BN→|cos∠DNM= 3×233 × -12 =-1.故选D. 4.D 解析:因为a·b=|a|·|b|cos<a,b>=|a|·13|a|cos π 3=6 , 所以 a =6.故选D. 5.C 解析:AB→·(AB→+AC→)=|AB→|2+|AB→|·|AC→|cosA= 1+1×5×35=4 ,故选C. 6.B 解析:向量不能比较大小,故A不正确;根据向量减法运算 公式可知,当向量a与b不共线时,两边之和大于第三边,即|a -b|<|a|+|b|,当a 与b 反 向 时,等 号 成 立,故 B正 确; |a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,故C不正确;当向量a与b 不共线时,根据向量减法法则可知,两边之差小于第三边,即 |a-b|>|a|-|b|,故D不正确.故选B. 7.-25 解析:因为|CA→|2=|AB→|2+|BC→|2, 所以B=90°,所以AB→·BC→=0. 因为cosC=45 ,cosA=35 , 所以BC→·CA→=|BC→|·|CA→|cos(180°-C) =4×5× -45 =-16. CA→·AB→=|CA→|·|AB→|cos(180°-A) =5×3× -35 =-9. 所以AB→·BC→+BC→·CA→+CA→·AB→=-25. 8.D 解析:设两个单位向量分别为e1,e2, 则e1·e2=cos<e1,e2>=-1, 由于<e1,e2>∈[0,π],所以<e1,e2>=π.故选D. 9.B 解析:因为b=(0,2),所以 b = 0+22=2, 又因为 a =1,a·b=1, cos<a,b>= a ·b a b = 1 1×2= 1 2 , 因为0≤cos<a,b>≤π, 所以向量a与b的夹角的大小为π3. 故选B. 10.C 解析:a·b= a b cos30°=1×2× 32= 3. 故选C. 11.D 解析:设船的实际速度为v,v1 和v2 的夹角为θ, 北岸的点A'在A 的正北方向,游船正好到达A'处, 则v⊥v2,如图所示: 所以cosθ=-cos(π-θ)=-|v2||v1|=- 4 14=- 2 7. 故选D. 12.π3 解析:设a与b的夹角为θ,则a·b=1×1×cosθ=12 , 所以cosθ=12 , 因为θ∈ 0,π ,所以θ=π3. 故答案为π 3. 13.90° 150° 解析:在△ABC中,因为AB=4,BC=2, AB→·BC→=-4, 所以|AB→||BC→|cos<AB→,BC→>=-4, 得4×2cos(π-B)=-4,所以cosB=12 ,得B=60°. 如图,延长BC到D,使CD=BC, 则△ABD 为等边三角形, 所以AC⊥BC,∠BAC=30°, 所以向量BC→与CA→的夹角为90°,AB→与CA→的夹角为150°. 14.A 解析:因为单位向量e1与e2的夹角为2π3 ,所以向量e1在向 量e2方 向 上 的 投 影 为|e1|cos2π3=1× - 1 2 =- 12;故 选A. 15.D 解析:a在b 上投影为|a|cos<a,b>=1×cosπ3= 1 2. 故 选D. 16.D 解析:向量a在向量b 方向上的投影为 a cosθ,因为 a+b = a ,所以a2+b2+2a·b=a2,即b2+2a·b=0, 又b为单位向量,则1+2a cosθ=0,求得 a cosθ=-12 , 故选D. 17.C 解析:∵CP→=AP→-AC→=12AC →+13AB →-AC→=13AB →-