B卷 第五单元 三角恒等变换-【满分金卷·必刷题】新教材2021-2022学年高中数学必修第三册单元双练双测AB卷(人教B版)

—83— —84— =3 2 2cos2018x+ 2 2sin2018x =3sin2018x+π4 , ∴A=f(x)max=3,周期T= 2π2018= π 1009 , 又存在实数x1,x2,对任意实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2) 成立, ∴f(x2)=f(x)max=3,f(x1)=f(x)min=-3, |x1-x2|的最小值为12T= π 2018 ,又A=3, ∴A·|x1-x2|的最小值为 3π2018. 故选C. 27.716 解析:设大正方形的边长为4,依题意得,小正方形的边 长为3. 因此4cosα-4sinα=3,即cosα-sinα=34 ,① 同理4sinβ-4cosβ=3,即sinβ-cosβ= 3 4.② ①×②,得sinβcosα-sinβsinα-cosαcosβ+sinαcosβ =916. 又sinα=cosβ,cosα=sinβ, ∴sin2β-(cosαcosβ+sinαsinβ)+cos2β= 9 16 , ∴cos(α-β)=1- 9 16= 7 16. 28.解:(1)因为cosα=35 ,α为锐角, 因此,cos2α=2cos2α-1=-725. (2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=- 5 5 , 所以sin(α+β)= 1-cos2(α+β)= 25 5 , 则tan(α+β)=-2. 由cosα=35 ,得tanα=43 , 所以 tanβ=tan [(α+β)-α]= tan(α+β)-tanα 1+tan(α+β)tanα = -2-43 1+(-2)×43 =2. 29.解:(1)由f(x)= 32sin2x+cos 2x= 32sin2x+ 1+cos2x 2 =sin2x+π6 +12, 可得f(x)的最小正周期T=2π2=π ,令2x+π6=kπ ,k∈Z, 解得x=12kπ- π 12 ,k∈Z, 所以函数的对称中心为 1 2kπ- π 12 ,1 2 ,k∈Z, (2)因为x∈ -π4 ,π 4 ,所以2x+π6∈ -π3,2π3 , 所以sin2x+π6 ∈ - 32,1 , 所以f(x)=sin2x+π6 +12∈ 1- 32 ,32 . 30.解:(1)f(x)=2cosxsinx-π3 + 3sin2x+sinxcosx =2cosx 1 2sinx- 3 2cosx + 3sin2x+sinxcosx =sin2x- 3cos2x=2sin2x-π3 , 故f(x)的最小正周期为T=2π2=π. (2)令2kπ-π2≤2x- π 3≤2kπ+ π 2 ,k∈Z, 解得kπ-π12≤x≤kπ+ 5π 12 ,k∈Z,可得函数的单调递增区间 为 kπ-π12 ,kπ+5π12 ,k∈Z. 又x∈ [0,π],所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 0,5π12 , 11π 12 ,π ,单调递减区间为 5π12,11π12 . 31.解:(1)f(x)=sin2x-cos2x+23sinxcosx = 3sin2x-cos2x=2sin2x-π6 . 故f(x)的最小正周期为T=2π2=π , 由2x-π6=kπ+ π 2 得,对称轴方程为x=kπ2+ π 3 ,k∈Z; (2)方程f(x)-a=0在x∈ -π12 ,5π 12 有解, 即方程f(x)=a在x∈ -π12 ,5π 12 有解, ∴实数a的取值范围即为函数f(x)在x∈ -π12 ,5π 12 上的 值域. ∵x∈ -π12 ,5π 12 ,∴2x-π6∈ -π3,2π3 , ∴- 3≤2sin2x-π6 ≤2, ∴函数f(x)值域为[- 3,2]. 故实数a的取值范围是[- 3,2]. 第五单元(B卷) 1.B 解析:sin11°cos19°+cos11°cos71° =sin11°cos19°+cos11°sin19° =sin11°+19° =sin30°=12. 故选B. 2.A 解析:因为α为锐角,所以α2∈ 0 ,π 4 , 所以cosα2= 1-sin 2α 2 = 25 5 , 所以cosα+π2 =-sinα=-2sinα2cosα2=-2× 55× 25 5 =- 4 5. 故选A. 3.D 解析:因为θ为第三象限角, 所以θ 2 可能为二、四象限角, 所以tanθ2=- 1-cosθ 1+cosθ=- 1- -45 1-45 =-3, 所以 1-tanθ2 1+tanθ2 =1+31-3=-2. 故选D. 4.A 解析:∵α,β均为锐角, sinα=255 ,cos(α+β)= 4 5 , ∴cosα= 1- 25 5 2 = 55 ,s