第14讲 平行线+线段中点构造全等模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第14讲平行线+线段中点构造全等模型（核心考点讲与练） 【知识梳理】 【核心考点精讲】 一．选择题（共1小题） 1．（2021秋•河东区期末）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题． 【解答】解：∵FC∥AB， ∴∠DAE＝∠FCE， 在△DAE与△FCE中， ， ∴△DAE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝CF， ∵CF＝3， ∴AD＝CF＝3， 又∵AB＝5， ∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明△DAE≌△FCE是解题的关键． 二．填空题（共3小题） 2．（2021秋•如皋市期末）如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝　　． 【分析】根据ASA证明△ABE与△DFE全等，进而利用全等三角形的性质及勾股定理解答即可． 【解答】解：延长BE交CD于点F， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DFE， 在△ABE与△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（ASA）， ∴BE＝EFBF，AB＝DF＝1， ∴CF＝2， ∴BF2， ∴BEBF， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答． 3．（2022春•清江浦区校级期中）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 　30　． 【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠D， 在△BAF和△EDF中， ， ∴△BAF≌△EDF（AAS）， ∴S△BAF＝S△EDF， ∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF＝S△ACD•AC•AD6×10＝30． 故答案为：30． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 4．（2021秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是线段AB的中点，P为直线BC上的一动点，连结DP．过点D作ED⊥DP，交直线AC于点E，连结EP．若CP＝3，则AE的长为 　4或　． 【分析】分点P在BC上或P在BC延长线上两种情形，当点P在BC上时，可知DP是△ABC的中位线，可得四边形DPCE是矩形，可得答案；当点P在BC延长线上时，作BH∥AC，交ED延长线于H，可知△AED≌△BHD（AAS），得AE＝BH，DE＝DH，设AE＝BH＝x，由勾股定理得，（8+x）2+32＝92+x2，解方程即可得出答案． 【解答】解：当点P在BC上时， ∵CP＝3，BC＝6， ∴点P是BC的中点， ∵D是线段AB的中点， ∴DP∥AC， ∴∠EDP＝∠DPC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形DPCE是矩形， ∴DE∥BC， ∴AEAC＝4； 当点P在BC延长线上时，作BH∥AC，交ED延长线于H， 则△AED≌△BHD（AAS）， ∴AE＝BH，DE＝DH， ∵DE⊥DP， ∴DP垂直平分EH， ∴PE＝PH， 设AE＝BH＝x，由勾股定理得， （8+x）2+32＝92+x2， ∴x， ∴AE， 故答案为：4或． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 5．（2020春•东平县校级月考）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB． （1）说明△ADE≌△CFE； （2）判断线段AB、CF、BD之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）先由FC∥AB得∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，进而利用AAS即可证得△ADE≌CFE； （2）由△ADE≌CFE得AD＝CF，再根据AB＝AD+BD即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵FC∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F， 在△ADE与△CFE中： ∵， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． （2）解：AB＝CF+BD，理由如下： ∵△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF， ∵AB＝AD+BD， ∴AB＝CF+BD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键． 6．（2021秋•滨湖区期末