专题21.11 一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.11 一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解） 【学习目标】 1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】 知识要点一：因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 特别说明： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式； （4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。 知识要点二：换元法解一元二次方程 1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法. 换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知 识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理. 2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题, 当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目 的. 【典型例题】 类型一、用因式分解法解一元二次方程 1．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】 根据因式分解法解一元二次方程即可． (1) 解： 解得， (2) 解得， 【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 举一反三： 【变式1】用适当的方法解方程：(1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】 将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案； 先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案． (1) 解：， ， 则或， 解得，， 所以，原方程的解为，； (2) ， 则， 或， 解得，． 所以，原方程的解为，． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 【变式2】解方程： (1)x2－x－2＝0； (2)3x(x－2)＝2－x． 【答案】(1)x1＝2，x2＝－1 (2)x1＝－，x2＝2 【分析】 （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程； (1) 解：x2－x－2＝0， (x－2)(x＋1)＝0， x－2＝0或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1． (3) 3x(x－2)＝2－x， 3x(x－2)＋(x－2)＝0， (3x＋1)(x－2)＝0， 3x＋1＝0或x－2＝0， x1＝－，x2＝2． 【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 类型二、用换元法解一元二次方程 2．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知，求的值． 解：设，则原方程变形为， 即 ∴ 得t1＝﹣2，t2＝1 ∴或 已知，求的值． 【答案】 【分析】先换元，再求出t的值，最后求出答案即可． 解：设 ∴ 即， ∴， 解得：，（舍去） ∴ 即的值为． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． 举一反三： 【变式1】解方程：． 【答案】 【分析】设，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 解：设， 则， 原方程化成， 解这个方程，得，， 当y＝1时，=1，即．由，此方程无实根， 当y＝－2时，，即， 解得：， 经检验，x＝－1是原分式方程的解， ∴原方程的解为x＝－1． 【点拨】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用进行转化，进而设，将原方程转化为一元二次方程． 【变式2】解方程： 【答案】， 【分析】先设：得到解出y的值，再求解x的值并把结果进行检验即可得到答案； 解：设