专题21.8 一元二次方程解法-公式法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.8 一元二次方程解法-公式法（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】 知识点一 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： 1 方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 2 确定公式中a,b,c的值，注意符号； 3 求出b2-4ac的值； 4 若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 【典型例题】 类型一、解一元二次方程--公式法 1．用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】 按照公式法的一般步骤：先把式子化为一般式，找到a，b，c，先算，再带入求根公式求解即可． 解：（1）∵， ∴， ∴， 即； （2）方程化为一般形式，得，这里， ∴， ， ∴原方程的解为． 【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式，是解决本题的关键． 举一反三： 【变式1】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用求根公式解一元二次方程即可； （2）先将方程整理为一般式，再根据求根公式解一元二次方程. 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴原方程的根为：； （2）原方程化为一般形式为：， ∵， ∴， ∴， ∴原方程的根为：． 【点拨】本题主要考查公式法解一元二次方程，解决本题的关键是要熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤. 【变式2】用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），．（2），． 【分析】 （1）先把方程化为一般式，再利用公式法进行求解； （2）根据公式法即可求解. 解：（1）将方程化为一般形式，得． 这里，，． ∵， ∴， 即，． （2）这里，，． ∵， ∴， ∴，． 【点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法解方程. 类型二、根的判别式 2．已知关于x的方程 （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】 （1）证出根的判别式即可完成； （2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围. 解：（1）证明： ∴方程总有两个实数根 （2） ∴ ∴ ∵方程有一个小于1的正根 ∴ ∴ 【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 举一反三： 【变式1】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】（1）证明见分析；（2）m=1． 【分析】 解：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 方法1 （1）利用判别式 （1）证明：． ∵不论m为何值，，即． ∴不论m为何值，方程总有实数根． （2）解关于x的一元二次方程，得 ，∴，． ∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或． 又∵方程的两个根不相等，∴，∴． 方法2（1）直接解一元二次方程求出根 （1）证明：解关于x的一元二次方程， 得，， ∴不论m为何值，方程总有实数根． （2）解关于x的一元二次方程，得 ，∴，． ∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或． 又∵方程的