第13讲 全等三角形中“倍长中线”模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第13讲 全等三角形中“倍长中线”模型（（核心考点讲与练） 【知识梳理】 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【核心考点精讲】 1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD． 求证：AB=AC． 方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（SAS） ∴AC=BE，∠E=∠2∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 方法2： 如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E ∵BE∥AC ∴∠E=∠2 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（AAS） ∴BE=AC ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 2、如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴∴ 在中， ∴． 3.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 解：（1）如图， （2）证明：如图， ∵AD为BC边上的中线 ∴BD=CD 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（SAS） （3）证明：如图， ∵△BDE≌△CDA ∴BE=AC ∵DE=AD ∴AE=2 AD 在△ABE中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD （4）在△ABE中， ABBE<AE<AB+BE 由（3）得 AE=2AD，BE=AC ∵AC=3，AB=5 ∴53<AE<5+3 ∴2<2AD<8 ∴1<AD<4 [来源:学&科&网Z&X&X&K 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD． 求证：AB=AC． 证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE 在△ADC和△EDB中 ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴AC=EB，∠2=∠E ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 5.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． 证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF ∴CF=2CD ∵CD是△ABC的中线 ∴BD=AD 在△BDF和△ADC中 ∴△BDF≌△ADC（SAS） ∴BF=AC，∠1=∠F ∵CB是△AEC的中线 ∴BE=AB ∵AC=AB ∴BE=BF ∵∠1=∠F ∴BF∥AC ∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC=AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE=∠CBF 在△CBE和△CBF中 ∴△CBE≌△CBF（SAS） ∴CE=CF，∠2=∠3 ∴CE=2CD CB平分∠DCE 6.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F． 求证：∠AEF=∠EAF． 证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM ∵D是BC边的中点 ∴BD=CD 在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB（SAS） ∴∠1=∠M，AC=MB ∵BE=AC ∴BE=MB ∴∠M=∠3∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF=∠EAF 7.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF． 求证：AD为△ABC的角平分线． 证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM ∵点E是BC的中点 ∴BE=CE 在△CFE和△BME中 ∴△CFE≌△BME（SAS） ∴CF=BM，∠F=∠M ∵BG=CF ∴BG=BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD∥EF ∴∠3=∠F，∠1=∠2 ∴∠2=∠3 即AD为△ABC的角平分线 【过关检测】 一．选择题（共6小题） 1．（2020秋•沈丘县期中）已知△ABC中AD为中线，且AB＝5、AC＝7，则AD的取值范围为（　　） A．2＜AD＜12 B．5＜AD＜7 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜10 【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，先证明△ABD≌