第12讲 全等三角形中“手拉手”模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第12讲全等三角形中“手拉手”模型（核心考点讲与练） 【知识梳理】 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 【核心考点精讲】 1、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点. 若DE=13，BD=12，求线段AB的长. ∵△ACE≌△BCD ∴AE=BD,∠EAC=∠B=45° ∵BD=12 ∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12 在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5 ∴AB=BD+AD=12+5=17 2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. 解析: ∵△ACB和△DCE都是等腰三角形 ∠ACB=∠DCE=90° ∴AC=BC,DC=EC ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD ∴∠BCD=∠ACE 在△ACE和△BCD中 AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD ∴△ACE≌△BCD(SAS) ∴AE=BD 3、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE. 如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）； 如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程. 解析： (1)∵△ABC和△ADE是等边三角形 ∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ∴∠BAD=∠EAC 在△ABD和△ACE中 AB=AC ∠BAD=∠EAC AD=AE ∴△ABD≌△ACE(SAS)∵△ABD≌△ACE ∴BD=CE ∵BC=BD+CD ∴BC=CE+CD （2）∵△ABC和△ADE是等边三角形 ∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ∴∠BAD=∠EAC 在△ABD和△ACE中 AB=AC ∠BAD=∠EACAD=AE ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD=CE∵BD=BC+CD ∴CE=BC+CD 4、如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转． （1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON； （2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是　 　（直接写出结论，不必证明） （1）证明：作∠OCG＝60°，交OA于G，如图1所示： ∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ∴∠CON＝∠COG＝60°， ∴∠OCG＝∠COG， ∴OC＝CG， ∴△OCG是等边三角形， ∴OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON， ∵∠MCN＝∠OCG＝60°， ∴∠OCN＝∠GCM， 在△OCN和△GCM中，， ∴△OCN≌△GCM（ASA）， ∴ON＝GM， ∵OG＝OM+GM， ∴OC＝OM+ON； （2）解：OC＝OM﹣ON，理由如下： 作∠OCG＝60°，交OA于G，如图2所示： ∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ∴∠CON＝∠COG＝60°， ∴∠CON＝120°，∠OCG＝∠COG， ∴OC＝CG， ∴△OCG是等边三角形， ∴OC＝OG，∠CGO＝60°， ∴∠CGM＝120°＝∠CON， ∵∠MCN＝∠OCG＝60°， ∴∠OCN＝∠GCM， 在△OCN和△GCM中，， ∴△OCN≌△GCM（ASA）， ∴ON＝GM， ∵OG＝OM﹣GM， ∴OC＝OM﹣ON； 故答案为：OC＝OM﹣ON 【过关检测】 一．选择题（共2小题） 1．（2021秋•海口期末）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，若AD＝5，BD＝12，则DE的长为（　　） A．12 B．13 C．12 D．25 【分析】由“SAS”可证△ACE≌△BCD，由全等三角形的性质可得BD＝AE＝12，∠CAE＝∠CBD＝45°，由勾股定理可求DE的长． 【解答】解：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△B