第11讲 全等三角形中“一线三等角”模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第11讲 全等三角形中“一线三等角”模型（核心考点讲与练） 【知识梳理】 过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。 过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS） 常见的两种图形： 【核心考点精讲】 1、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由. 解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE ∴∠BDA=∠AEC=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC 在△ABD和△CAE中 ∠ADB=∠CEA=90° ∠ABD=∠EAC AB=CA ∴△ABD≌△CAE(AAS) AD=CE,BD=AE ∵AE=AD+DE ∴BD=DE+CE （2）在△ABD和△CAE中 ∠ADB=∠CEA=90° AB=CA ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴AD=CE,BD=AE∵AE=DE-AD ∴BD=DE-CE. 2、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. 当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论. 解析： ∵∠B=40°∴∠BAD+∠BDA=140° ∵∠ADE=40° ∴∠CDE+∠BDA=140° ∴∠BAD=∠CDE 在△ABD和△DCE中 ∠B=∠C ∠BAD=∠CDE AB=DC ∴△ABD≌△DCE 3、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC 证明：AB+AE=BC 【解析】（1）作AC的垂线交AD的延长线于点M 证△BAE≌△ACM（ASA）得CM=AE=CD ∴∠M=∠CDM=∠AEB=∠BAD∴AB=BD ∴BF平分∠ABD（等腰三角形三线合一）（2）AB+AE=BD+DC=BC 4、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=BD.解析： 延长CE、BA相交于点F. ∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90° ∴∠EBF=∠ACF. 又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF ∴△ABD≌△ACF（ASA） ∴BD=CF 在△BCE和△BFE中 ∠EBF=∠CBE BE=BE ∠CEB=∠FEB ∴△BCE≌△BFE(ASA) ∴CE=EF ∴CE=CF=BD 【过关检测】 一．选择题（共7小题） 1．（2021秋•兰陵县期末）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 【分析】由题中条件求出∠BAC＝∠DCE，可得直角三角形ABC与CDE全等，进而得出对应边相等，即可得出结论． 【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°， ∴∠BAC＝∠ECD， ∵在Rt△ABC与Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS）， ∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm， ∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，应熟练掌握． 2．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【分析】根据同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCE，再利用AAS证明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，从而得出答案． 【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠BEC＝∠CDA＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ACD与△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm， 故选：C． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ACD≌△CBE是解题的关键． 3．（2022春•北碚区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，AC⊥BC，且AD＝CD＝AB＝2，则BC为（　　）