第10讲 等腰三角形（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第10讲 等腰三角形（核心考点讲与练） 【知识梳理】 一、等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 二、等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【核心考点精讲】 一、等腰三角形的性质（角度问题） 【例1】（2020春•益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数； （2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数． 【解题思路】（1）由角平分线的定义可求解∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，再利用三角形的内角和定理可求解； （2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解． 【解答过程】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O， 所以∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB， 又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°； （2）∵∠BOC＝130°， ∴∠1+∠2＝50°， ∵∠1：∠2＝3：2， ∴，， ∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O， ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°． 二、等腰三角形的性质（周长问题） 1.（2020秋•罗庄区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为　 　． 【解题思路】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答． 【解答过程】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x， ∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分， ∴有两种情况： 当3x＝18且x+y＝15时， 解得x＝6，y＝9， 即AC的长为9； 当x+y＝18且3x＝15时，解得x＝5，y＝13， 此时腰为10， 即AC的长为13． 综上所述，AC的长为9或13． 故答案为：9或13． 2.（2020秋•延津县期中）一个等腰三角形的周长为28cm． （1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长； （2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长． 【解题思路】（1）设腰长＝acm，则底边长＝1.5acm，代入求出即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【解答过程】解：（1）设腰长＝acm，则底边长＝1.5acm， ∵三角形的周长是28cm， ∴a+a+1.5a＝28， ∴a＝8， 1.5a＝12， ∴这个等腰三角形的三边长分别为8cm，8cm，12cm； （2）①底边长为10cm，则腰长为：（28﹣10）÷2＝9，所以另两边的长为9cm，9cm，能构成三角形； ②腰长为10cm，则底边长为：28﹣10×2＝8，以另两边的长为10cm，8cm，能构成三角形． 因此另两边长为9cm，9cm或10cm，8cm． 三、等腰三角形的性质（三线合一问题） 1.（2019秋•红花岗区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． 【解题思路】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题． （2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题． 【解答过程】解：∵AB＝AC，∠C＝40° ∴∠ABC＝∠C＝40°， ∵BD＝CD，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°． （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠FEB， ∴FB＝FE．