1.4不等式的性质及一元二次不等式（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

1.4 不等式的性质及一元二次不等式 【题型解读】 【知识储备】 1．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N＋，n>1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N＋，n>1) 2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (a，b∈R) (2)作商法 (a∈R，b>0) 3．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)． 4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 5.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【题型精讲】 【题型一　不等式性质的应用】 必备技巧 判断不等式的常用方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较． 例1　（2022·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（       ） A．< B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c| 【答案】C 【解析】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2<b2，排除A，B； 因>0，a>b，由不等式性质得，C正确； 当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D， 故选：C 例2　（2022·浙江模拟）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，取，该不等式成立，但不满足； 对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足； 对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足； 下面证明B 法一：不等式等价于，而.函数在上单增，故. 法二：若，则，故，矛盾.故选：B 【题型精练】 1. （2022·北京海淀·二模）已知，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，令，显然，错误； 对于B，， 又不能同时成立，故，正确； 对于C，取，则，错误； 对于D，取，则，错误. 故选：B. 2．（多选题）（2022·福建三明·模拟预测）设，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，，所以，的符号不能确定， 当时，，故A错误， 因为，，所以，故B正确， 因为，所以，故C正确， 因为，所以，所以，所以，故D错误， 故选：BC 【题型二　比较数（式）的大小】 必备技巧 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 例3　（2022·江苏·高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小. 【解】因为为整数，则且， 由，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 例4　（2022·湖南·高三课时练习）比较与的大小． 【解析】, <. 例5　（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，构造函数，， 令，则，∴在上单减，∴， 故，所以在上单减， ∴， 同理可得，故，故选：C. 【题型精练】 1．（2022·重庆·模拟预测）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，，∴ 又，∴∴ ，又∴ 综上：故选：A 2. （2022·广东茂名·高三阶段练习）（多选）已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】令，，则，所以当时，当时，所以在上单