专题1.9 正方形的性质与判定（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.9 正方形的性质与判定（知识讲解） 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 1、 定义： 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2、性质： （1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。 （2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 （3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。 3、判定： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。 4、面积：正方形面积=边长的平方；正方形面积=对角线乘积的一半 5、中点四边形 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、据正方形性质求角的大小、线段的长及面积 1．如图，已知、分别是正方形边、边上的动点，，． （1）求证：； （2）设的面积为，的长为．试求出与之间的函数表达式． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】 （1）由正方形的性质可得到AB=AD，，运用HL证明即可得到结论； （2）由（1）可得BE=DF，进而得CF=CE，根据可得结论． 解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC， 又 ∴（HL） ∴; （2）由（1）知， ∴BE=DF 又BC=DC ∴CE=CF=x ∴BE=DF=6-x ∴ = 【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及三角形面积公式等知识，得到是解答此题的关键． 【变式1】在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE=BD，则∠AEC=（       ） A．30度 B．67.5 度 C．22.5 度 D．30度 【答案】C 【分析】先连接AC，根据正方形的性质，得出AC=EC，进而得到∠E=∠CAF，再根据平行线的性质，得出∠E=∠DAF，最后根据∠CAD=45°，求得∠AEC的度数． 解：如图，连接AC， 则正方形ABCD中，AC=BD， ∵CE=BD， ∴AC=EC， ∴∠E=∠CAF， ∵ADEC， ∴∠E=∠DAF， ∴∠CAF=∠DAF， ∵∠CAD=45°， ∴∠CAF=∠DAF=22.5°， ∴∠AEC=22.5°， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造等腰三角形ACE．解题时注意：正方形的两条对角线相等，并且每条对角线平分一组对角． 【变式2】如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 解：连接交于， 四边形是正方形， ，， 点、分别是边，的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 类型二、据正方形性质进行证明 2．如图，在正方形中，，E为中点，连接，将沿折叠，点B的对应点为G，连接并延长交于点F，连接，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)平行，理由见分析 (2)2 【分析】 （1）由折叠知，可得，根据E为的中点，可得，进而可得，根据，即可得证； （2）证明，得，设，则，．勾股定理列出方程，解方程求解即可． (1) 解： ． 理由如下： 由折叠知， ∴，． 又E为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． (2) ∵四边形是正方形， ∴． 又，，, ∴． ∴． 设， 则，． ∴． 即． 解得． 即． 【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，HL证明三角形全等，全等三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式1】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论不正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明△BCE≌△CDF得到CE=DF，∠BCE=∠CDF，即可判断A、B；如图，取CD中点H，连接GH，AH，证明△AHG≌△AHD，得到AD=AG，即可判断D；根据现有条件不