4 第一章 第四节　基本不等式（课件）-2023高考数学【金版新学案】大一轮复习讲义·高三总复习（人教版 安徽 云南）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第四节　基本不等式 返回 栏目导引 知识分步落实 栏目一 考点分类突破 栏目二 知识分步落实 a＞0，b＞0 a＝b 算术平均数 几何平均数 返回 x＝y 最小 x＝y 最大 返回 返回 × √ × 返回 返回 返回 返回 返回 考点分类突破 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 课时作业(四) 返回 返回 课程标准 考向预测 　　掌握基本不等式 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (a>0，b>0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 考情分析：利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等仍是高考热点，多出现在解答题的运算中． 学科素养：通过基本不等式求最值的应用，考查数学运算、逻辑推理的核心素养． 1．基本不等式： eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件是 . (2)等号成立的条件是：当且仅当 时取等号． (3)其中 eq \f(a＋b,2) 称为正数a，b的 ， eq \r(ab) 称为正数a，b的 ． 2．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，x＋y有 值是 (简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 时，xy有 值是 (简记：和定积最大)． [提醒]　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽视任何一个条件，就会出错． 2 eq \r(p) eq \f(p2,4) eq \a\vs4\al() 活用几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2(a，b同号)． ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) (a，b∈R)； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) ≤ eq \f(a2＋b2,2) (a，b∈R)．　　 小题练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋ eq \f(1,x) 的最小值是2．(　　) (2)当a≥0，b≥0时， eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) ．(　　) (3)两个不等式a2＋b2≥2ab与 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) 成立的条件是相同的．(　　) 小题练2．若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则 eq \r(xy) 的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 A　[因为x＋y＝18，x＞0，y＞0，所以 eq \r(xy) ≤ eq \f(x＋y,2) ＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．] 小题练3．(活用结论)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 eq \r(ab) C． eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＞ eq \f(2,\r(ab)) D． eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2 D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴选项A错误，对于选项B，C，当a＜0，b＜0时，明显错误，对于选项D，∵ab＞0，∴ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b)) ＝2．] 小题练4．(必修第一册P48习题T1改编)当x＞1时，x＋ eq \f(1,x－1) 的最小值为________________． 解析：当x＞1时，x＋ eq \f(1,x－1) ＝x－1＋ eq \f(1,x－1) ＋1≥2 eq \r(（x－1）×\f(1,x－1)) ＋1＝3， 当且仅当x－1＝ eq \f(1,x－1) ，即x＝2时等号成立． 答案：3 小题练5．(必修第一册P46例3改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2． 解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题意可知0＜x＜10， 则面积S＝x(10－x)≤( eq \f(x＋10－x,2) )2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立， 故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面