1.5 二次函数与一元二次方程、不等式（word教参）-2023高考数学【金版新学案】大一轮复习讲义·高三总复习（人教版 R1版）

第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 课程标准 考向预测 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 考情分析：　不等式解法是不等式中的重要内容，且常考常新，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，难度中等偏下． 学科素养：　通过一元二次不等式及恒成立问题的求解考查数学运算、逻辑推理的核心素养． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1 或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 1.简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)g(x)>0. 2．绝对值不等式的解法 (1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2； (2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)； (3)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x). 3．两个常用的结论 (1)不等式ax2＋bx＋c≥0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔　　 小题练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 小题练2．(必修第一册P52例1改编)不等式x2＋2x－3>0的解集为(　　) A．{x|－3<x<1}　　　　 B．{x|－1<x<3} C．{x|x<－3或x>1} D．{x|x<－1或x>3} C　[根据题意，方程x2＋2x－3＝0有两个根，即－3和1，则x2＋2x－3>0的解集为{x|x<－3或x>1}．] 小题练3．(巧用结论)“(x－1)(x＋2)>0”是“>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[∵“(x－1)(x＋2)>0”⇔“>0”， ∴“(x－1)(x＋2)>0”是“>0”的充要条件．] 小题练4．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________． 解析：　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a＋b＝－14. 答案：　－14 小题练5．(巧用结论)不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________． 解析：　∵不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集， ∴Δ＝a2－4×4＞0，即a2＞16. ∴a＞4或a＜－4. 答案：　(－∞，－4)∪(4，＋∞) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　不含参数的一元二次不等式的解法 1.不等式x2<4x＋5的解集为(　　) A．(－∞，－5)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(5，＋∞) C．(－1，5) D．(－5，1) C　[不等式x2<4x＋5，即x2－4x－5<0，所以(x＋1)·(x－5)<0，解得－1<x<5.所以原不等式的解集为(－1，5).故选C．] 2．不等式0<x2－x－2≤4的解集为________． 解析：　原不等式等价于 即 即解得 将x的取值范围在数轴上表示，如图， 由图可知，原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}． 答案：　[－2，－1)∪(2，3] 3．不等式≥－1的解集为________． 解析：　移项通分得≥0，等价于 解得x≤或x>5，即原不等式的解集为. 答案：　 解一元二次不等式的4个步骤 (1)一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)二判：计算对应方程的判别式．