1.4 基本不等式（word教参）-2023高考数学【金版新学案】大一轮复习讲义·高三总复习（人教版 R1版）

第四节　基本不等式 课程标准 考向预测 　　掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 考情分析：　利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等仍是高考热点，多出现在解答题的运算中． 学科素养：　通过基本不等式求最值的应用，考查数学运算、逻辑推理的核心素养． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0． (2)等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). [提醒]　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽视任何一个条件，就会出错． 活用几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号). ab≤(a，b∈R)；≤(a，b∈R).　　 小题练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)当a≥0，b≥0时，≥.(　　) (3)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)× 小题练2．若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 A　[因为x＋y＝18，x＞0，y＞0，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．] 小题练3．(活用结论)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 C．＋＞ D．＋≥2 D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴选项A错误，对于选项B，C，当a＜0，b＜0时，明显错误，对于选项D，∵ ab＞0，∴＋≥2＝2.] 小题练4．(必修第一册P48习题T1改编)当x＞1时，x＋的最小值为___________． 解析：　当x＞1时，x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立． 答案：　3 小题练5．(必修第一册P46例3改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2. 解析：　设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题意可知0＜x＜10， 则面积S＝x(10－x)≤()2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立， 故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2. 答案：　25 考点一　利用基本不等式求最值 角度一　配凑法求最值 (1)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为______________． (2)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为______________． 解析：　(1)∵x＞，∴4x－5＞0， ∴f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5. 当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号． (2)x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． 答案：(1)5　(2) 　配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　 角度二　常数代换法求最值 (2021·东北三省四市教研联考)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为____________． 解析：　解法一：＋＝(＋)(a＋b)＝(1＋＋＋2)≥＝(3＋2)， 当且仅当＝，即a＝2－2，b＝4－2时，等号成立． 解法二：＋＝＋＝＋＝＋＋＋1≥＋2＝， 当且仅当＝，即a＝2－2，b＝4－2时，等号成立． 答案：　＋ 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．　　 角度三　消元法求最值 已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________． 解析：　由ab－b＋1＝0可得a＝， 由a＝>0且b>0得b>1， 所以＋4b＝＋4b＝＋4(b－1)＋5≥2＋5＝4＋5＝9. 当且仅当＝4(b－1)， 即b＝，a＝时等号成立， 故＋4b的最小值是9.