1.3 等式性质与不等式性质（word教参）-2023高考数学【金版新学案】大一轮复习讲义·高三总复习（人教版 R1版）

第三节　等式性质与不等式性质 课程标准 考向预测 1.梳理等式的性质． 2．理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 考情分析：　不等式性质在高考中单独命题较少，多出现在解题过程中，其中不等式性质与指数、对数函数性质结合将是高考的热点，题型以选择题为主． 学科素养：　通过不等式性质的应用考查逻辑推理的核心素养． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜B． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc， a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). [提醒]　(1)同向不等式可以相加，不能相减； (2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变． 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a＞b，ab＞0⇒＜； ②a＜b＜0⇒＞； ③a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒<<. 　　 (2)有关分数的性质 若a＞b＞0，m＞0，则 ①真分数的性质 ＜，＞(b－m＞0)； ②假分数的性质 ＞，＜(b－m＞0). 小题练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (2)若>1，则a>b.(　　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　) (4)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 小题练2．(必修第一册P38例1改编)若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有(　　) A．M>N　　　　　　　　　 B．M≥N C．M<N D．M≤N A　[因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1>0，所以M>N.] 小题练3．(多选)下列结论正确的是(　　) A．若a>b，c>0，则ac>bc B．若a>b，c>0，则> C．若a>b，则a＋c>b＋c D．若a>b，则a－c>b－c ACD　[A选项，满足不等式基本性质的可乘性；B选项，当a≤0时，>不成立；C，D选项，满足不等式的可加性．] 小题练4．若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a－b的取值范围是________． 解析：　∵0<b<1，∴－1<－b<0， ∵0<a<2，∴－1<a－b<2. 答案：　(－1，2) 小题练5．(巧用结论)下列命题中，正确的序号是________． (1)若b>a>0，则>； (2)若a>b，c>d，则a－c>b－d； (3)若ab>0，a>b，则<. 解析：　(1)中，由分数性质知(1)正确； (2)中，因为a>b，(－c)<(－d)，不满足不等式的同向相加性，故(2)不正确； (3)中，因为ab>0，所以a，b同号，所以当a>b时，<，故(3)正确，故(1)(3)正确． 答案：　(1)(3) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　比较两个数(式)的大小 1.设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B B　[由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.] 2．若a＝，b＝，则a________b(填“＞”或“＜”). 解析：　易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞A． 答案：　＜ 3．若实数m≠1，比较m＋2与的大小． 解析：　m＋2－＝＝， ∵m2＋m＋1>0恒成立， ∴当m＞1时，m＋2＞； 当m＜1时，m＋2＜. 比较两个数大小的常用方法 [提醒]　对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小． 　　 考点二　不等式的性质及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度一　不等式命题的推断 (1)已知实数a，b，c满足c<b<a，那么“ac<0”是“ab>ac”成立的(　　) A．必要不充分条件　　 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)(2021·沈阳市教学质量监测(一))若a>0，b>0，则使a>b成立的充要条件是(　　) A．a2>b2 B．a2b>ab2 C．> D．a＋>b＋ 解析：　(1)若ac<0，且c<b<a，则必有c<0<A．由b>c，a>0，得ab>aC．故由ac<0可推出ab>aC．若ab>ac，且c<b<a，则a>