第08讲 全等三角形中“截长补短”模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第08讲全等三角形中“截长补短”模型（核心考点讲与练） 【知识梳理】 1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等； 2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用. 如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法. 截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可； 补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可. 【核心考点精讲】 1、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD 解析：在AB上取一点E,使AE=AC, 连接DE, ∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD ∴△ACD≌△AED ∴CD=DE,∠C=∠3 ∵∠C=2∠B ∴∠3=2∠B=∠4+∠B ∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE ∵AB=AE+BE ∴AB=AC+CD 2、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE. 解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF, ∵CE⊥AB ∴CF=CB ∠CFB=∠B ∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180° ∴∠D=∠AFC ∵AC平分∠BAD 即∠DAC=∠FAC 在△ACD和△ACF中 ∠D=∠AFC ∠DAC=∠FAC AC=AC ∴ACD≌△ACF（AAS） ∴AD=AF ∴AE=AF+EF=AD+BE 3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明． 证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠FBO. ∴△EBO≌△FBO. ∴∠EOB＝∠FOB. ∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝120°. ∴∠EOB＝∠DOC＝60°. ∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°. ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCO＝∠FCO. ∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF. ∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD. 4．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由． 解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE. ∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB， ∴EF＝DE. ∵DE＝CE， ∴EC＝EF. ∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)． ∴BF＝BC 同理可证：AF＝AD. ∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.　 5．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由． 解：线段AB，CD和线段BC的关系是： BC＝AB＋CD. 理由：在△DCE中， ∠EDC＋∠DEC＝90°， ∵∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠AEB＝∠EDC， 又∵ED＝AE，∠ABE＝∠ECD＝90°， ∴△ABE≌△ECD(AAS)， ∴AB＝EC，BE＝CD， ∴BC＝BE＋EC＝CD＋AB. 【过关检测】 1．（2021·辽宁大连·八年级期中）如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解． 【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE， ∵为等边三角形， ∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵，BE=AD， ∴ ， ∴CE=CD，∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB=60°， ∵CE=CD， ∴是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2.（2019·浙江嘉兴市·八年级期中）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量