1.5基本不等式8大题型（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

1.5 基本不等式8大题型 【题型解读】 【知识储备】 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.(简记：和定积最大) 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”． 【题型精讲】 【题型一　基本不等式及其应用】 例1　（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以，故A错误； 只有在时才成立，故B错误； 因为，所以，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D. 例2　（多选题）（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设，，下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，取，则，B错； 对于C选项，，， 所以，，即，当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则， 所以，，当且仅当时，两个等号同时成立，D对. 故选：ACD. 【题型精练】 1. （2022·宁夏·银川一中二模）下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 2．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知，则以下不等式成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因为， 所以，所以， 当且仅当时取等号，故A错误； 对于B， ， 当且仅当时取等号， 所以，即，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当且，即时取等号，故D正确. 故选：BCD. 【题型二　直接法求最值】 例3　（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（       ） A．18 B．27 C．54 D．90 【答案】C 【解析】由题意可得， 当且仅当时，即等号成立. 故选：C． 例4　（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（       ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【解析】因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以，，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2 故选：D. 【题型精练】 1．（2022·湖北十堰·三模）函数的最小值为（       ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A 2. （多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（       ） A．上的最小值为2 B．的最大值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【解析】∵， ∴， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； ，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确； ，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：AB 【题型三　凑配法求最值】 必备技巧 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　 例5　（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【解析】因为，所以3x－1>0， 所以， 当且仅当，即x =1时等号成立， 故函数的最小值为5． 故选：D． 例6　（2022·上海虹口·高三期末）已知，则的最大值为______． 【答案】4 【解析】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以的最大值为4. 故答案为：4 【题型精练】 1．（2022·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（