2.2函数的单调性和最值、值域（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

2.2 函数的单调性和最值、值域 【题型解读】 【知识储备】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． （3）复合函数的单调性（同调增；异调减） 对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【题型精讲】 【题型一　函数单调性判断】 必备技巧 确定函数单调性的五种方法 (1)定义法：利用定义判断． (2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质． (5)复合函数“同增异减”的原则，需先确定简单函数的单调性． 例1　（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】任取、，且，，则： ， 当时，，即，函数在上单调递减； 当时，，即，函数在上单调递增. 例2　（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A．递增区间是 B．递减区间是 C．递增区间是 D．递增区间是 【答案】D 【解析】因为函数，作出函数的图象， 如图所示： 由图可知，递增区间是，递减区间是和． 故选：D． 例3　（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得， 令，则， ∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增， ∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是 故选：C 例4　（2022·九龙坡区·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为 【答案】 【解析】因为对数函数在上是增函数，反比例函数在上也是增函数， 所以在定义域上单调递增；又是由向左平移两个单位得到，所以的单调增区间为. 例5　（2022·天津静海区月考）函数的单调减区间为___________ 【答案】 【解析】,当,即时原函数为减函数.故函数的单调减区间为.故答案为： 【题型精练】 1. （2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）lg．判断并证明函数f（x）的单调性； 【解析】由题意，，解得 故f（x）的定义域为（0，4） 令，，由于在（0，4）单调递减，在单调递增，因此在（0，4）单调递减，又在（0，4）单调递减，故f（x）在（0，4）上单调递减，证明如下： 设0＜x1＜x2＜4，则： ， ∵0＜x1＜x2＜4， ∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0，， ∴， ∴f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在（0，4）上单调递减 2．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，．由，得． 因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数， 所以函数的单调减区间是． 故选：C. 3. （2021·全国·高一专题练习）函数的增区间是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由二次函数的图象可知 在上是增函数 故选：C 【题型二　函数单调性比较大小】 例6　（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，，， 于是得函数在上单调递增，而函数是R上的偶函数，即， 显然有，因此得：， 所以. 故选：B 例7　（1）（2022·江苏淮安市·高三二模）已知函数，设，，，则（ ） A． B． C． D． （2）（2022·四川资阳市月考）设曲线在处切线的斜