2.1函数的概念及其表示（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

2.1 函数的概念及其表示 【题型解读】 【知识储备】 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 【题型精讲】 【题型一　函数的概念】 必备技巧 函数的概念 (1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可. 例1　（2022·湖南·高三课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（       ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【解析】由题意，函数的定义域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系； 对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系； 对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确. 故选：C 例2　（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（       ） A．， B． C．， D．，，0，，，，0， 【答案】D 【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数， 对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数， 对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数， 对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数， 故选：D． 【题型精练】 1. （2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（       ） A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足. 故选：C. 2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】 解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不满足； 对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不满足； 对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不满足； 对于D选项，，的定义域均为，对应关系均为，故是同一函数. 故选：D 【题型二　函数的定义域】 必备技巧 函数的定义域 (1)根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． (2)求抽象函数的定义域的策略 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 例3　（2022·湖北省广水市实验高级中学高三阶段练习）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数有意义，则有解得且. 所以函数的定义域为. 故选：B 例4　（1）（2022·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A． B． C． D． （2）（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为______. 【答案】（1）B （2） 【解析】（1）的定义域为，，即， ，解得：且， 的定义域为. 故选：. （2）的定义域是，则， 即函数的定义域为， 令，解得. 则函数的定义域为. 故答案为：. 例5　（20