备战2022届高考压轴题解法讲义系列之含参高端函数的分析策略(6)参数端点效应法

备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略 (6)参数端点效应法 【知识与方法储备】 与传统的恒成立问题解法，如求导讨论，分离参数，构造函数等相比，必要探路法具有过程简捷、逻辑严谨、技巧性强等特点.各地模拟题、高考题仍将恒成立问题作为考查的重点之一，必要探路法也作为一种正式的解法成为标准答案的一员.因此，了解并掌握这种方法、进而熟练应用，对我们解题大有裨益. 必要探路法，就是利用端点效应的原理；其基本步骤如下： 1.探究必要条件，缩小参数范围：首先利用端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；常见的几种缩小参数范围的思路： ①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况. ②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. ③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. 若在上恒成立，则 ，此法应用于区间端点值包含参数的情况. 若在上恒成立，则，此法应用于区间端点值包含参数的情况. 2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调； （1）如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案； （2）如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值. 若使用必要探路法，则尤其要注意第一步，即寻找必要条件，因为其具有较强的技巧性.常见的选取技巧包括选择端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如等）. 端点效应包括两类自变量端点效应和参数端点效应，本讲讲参数端点效应 【常见题型与解法探究】 题型一、借参数端点构造函数，证明不等式 【罗师导航】利用单调函数，进行参数端点效应放缩，转化为不含参数的不等式证明 【典例1-1】已知函数，当时，证明． 【典例1-2】（原创）已知函数f(x)=aex-1-x,对于，证明：当时，不等式恒成立． 【能力达标训练】 【1-1】已知函数，当时，证明：． 【1-2】已知函数，.若，证明：当时，. 【1-3】当时，证明． 题型二、借题目关联问的参数端点值，构造函数不等式 【罗师导航】参数临界赋值，构造函数，特别是数列型不等式的证明（详见数列不等式的证明） 【典例2-1】（乘积式数列不等式)已知函数. (1)若，求的值； (2)证明：对任意的正整数，. 【典例2-2】（连和式数列不等式)已知函数， （1）试讨论的单调性； （2）求证：. 题型三、参数约束与代换 【罗师导航】利用参数约束隐零点范围，或者利用参数与隐零点的关系，进行代换，简化结构，优化思路. 【典例3-1】已知函数.若，求证：当时，. 【典例3-2】已知函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)当且时，的极大值为M，的极小值为N，求的取值范围.（参考数据：，） 【典例3-3】已知函数. (1)求的极值； (2)设，若存在唯一极大值，极大值点为，且，求的取值范围. 【典例3-4】已知函数.证明：. 【能力达标训练】 【3-1】已知函数的导函数为，其中. (1)求证：函数在定义域不单调； (2)记函数的极值点为实数，证明：. 【3-2】已知函数． (1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：． 【3-3】已知函数. (1)若，求函数的单调区间及在处的切线方程； (2)设函数，若时，恒成立，求实数的取值范围. 题型四、主参换位，构造函数不等式 【罗师导航】已知参数范围，可构造参数相关的单调函数 【典例4-1】已知函数，,求证：f（x）>1. 【能力达标训练】 【4-1】已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若，求证：.参考数据：. 高中数学教学系列 学习数学的价值在于养成数学思维与数学方法，在于用数学知识去研究和解决问题！2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略 (6)参数端点效应法 【知识与方法储备】 与传统的恒成立问题解法，如求导讨论，分离参数，构造函数等相比，必要探路法具有过程简捷、逻辑严谨、技巧性强等特点.各地模拟题、高考题仍将恒成立问题作为考查的重点之一，必要探路法也作为一种正式的解法成为标准答案的一员.因此，了解并掌握这种方法、进而熟练应用，对我们解题大有裨益. 必要探路法，就是利用端点效应的原理；其基本步骤如下： 1.探究必要条件，缩小参数范围：首先利用端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；常见的几种缩小参数范围的思路： ①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况. ②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. ③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. 若在上恒成立，则 ，此法应用于区间端点