备战2022届高考压轴题解法讲义系列之含参高端函数的分析策略(5)自变量端点效应法

备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略 (5)自变量端点效应法 【知识与方法储备】 与传统的恒成立问题解法，如求导讨论，分离参数，构造函数等相比，必要探路法具有过程简捷、逻辑严谨、技巧性强等特点.各地模拟题、高考题仍将恒成立问题作为考查的重点之一，必要探路法也作为一种正式的解法成为标准答案的一员.因此，了解并掌握这种方法、进而熟练应用，对我们解题大有裨益. 必要探路法，就是利用端点效应的原理；其基本步骤如下： 1.探究必要条件，缩小参数范围：首先利用端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；常见的几种缩小参数范围的思路： ①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况. ②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. ③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. 若在上恒成立，则 ，此法应用于区间端点值包含参数的情况. 若在上恒成立，则，此法应用于区间端点值包含参数的情况. 2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调； （1）如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案； （2）如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值. 若使用必要探路法，则尤其要注意第一步，即寻找必要条件，因为其具有较强的技巧性.常见的选取技巧包括选择端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如等）. 端点效应包括两类自变量端点效应和参数端点效应，本讲讲自变量端点效应 【常见题型与解法探究】 题型一、构造端点函数值为函数的最值的函数不等式 【罗师导航】将不等号一侧的值看做函数在端点处的取值，使用必要探路法，利用函数单调性将原问题转化为研究导函数的性质. （1）若，把不等式可化简为在（或）上恒成立： 若，则；若，则。 （2）若，把不等式可化简为在（或）上恒成立： 若，则；若，则。 （3）若，，把不等式可化简为在（或）上恒成立： 若，则用恒成立求得放缩参数范围，证明此范围内函数单调递减；在证明此范围外函数不单调递减；若，则用能成立求得放缩参数范围，证明此范围内函数存在单调递增；在证明此范围外函数不单调递增。 （4）若，，把不等式可化简为；例如若，则用，求得放缩参数范围，证明此范围内函数单调递减；在证明此范围外函数不单调递减；若，则用，求得放缩参数范围，证明此范围内函数单调递增；在证明此范围外函数不单调递增。 【典例1-1】（闭区间）已知函数，若对任意，不等式，求实数的取值范围． 【典例1-2】（开区间）已知函数，若时，，求的取值范围． 【典例1-3】（闭区间）已知函数.若在上恒成立，求实数的取值范围． 【典例1-4】（闭区间）当时，，．求实数的取值范围． 【能力达标训练】 【1-1】已知函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【1-2】已知函数. （1） 讨论的单调性； （2） 当时，曲线总在曲线的下方，求的取值范围. 【1-3】（2010年全国新课标理)设函数 （1）若，求的单调区间； （2）若当时，求的取值范围. 【1-4】设函数. （Ⅰ）证明：的导数； （Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围． 【1-5】已知函数，若函数在区间上是减函数，求的取值范围. 【1-6】设函数.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【1-7】已知函数的最小值为0,其中. （1）求的值； （2）若对任意的都有恒成立,求实数的最小值. 【1-8】已知函数.若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 【1-9】已知，若在上恒成立，求的取值范围. 【1-10】已知，若在上恒成立，求的取值范围. 【1-11】已知函数，．设，当时，，求实数的取值范围． 【1-12】已知函数，．若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【1-13】已知不等式在上恒成立，求a的取值范围． 【1-14】令函数，若对，恒成立，求实数a的取值范围. 【1-15】已知函数，若对任意的，都有成立，求的取值范围. 【1-16】若在上恒成立，求的取值范围. 题型二、构造区间内部存在极值点（最值点）的函数不等式 【罗师导航】若，把不等式可化简为，或者，则可以使用必要探路法 在包含的某一小段区间上，如果在处，为最大（小）值，我们就称该点为局部最大（小）值.若函数定义在区间上，且，如果为函数的局部最大（小）值，那么一定有或不存在，此为极值定理.在高中阶段，考查的多为可导函数，因此若不在所给区间的端点，那么便可尝试利用这个关键的必要性结论来解题. 【典例2-1】已知函数，若函数的最大值为6，求的值. 【例2-2】已知函数. （1） 当时，求函数的单调区间. （2） 若在定义域内恒成立，求的取值范围. 【例2-3】已知函数，若恒成立，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【能力达